L’INFINI DANS LES MATHÉMATIQUES DE LEIBNIZ
Eberhard Knobloch
L’INFINI DANS LES MATHÉMATIQUES DE LEIBNIZ
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Introduction

Leibniz ou Théophile dit dans les Nouveaux essais sur l’entendement humain1:

«Et tout cela fait voir, que l’esprit humain se propose des questions si étran-

ges, surtout lorsque l’infini y entre, qu’on ne doit point s’étonner s’il y a de la

peine à en venir à bout». Il distingue, ce qu’il explique dans plusieurs études

de son séjour parisien, entre trois degrés de l’infini2:

  • 1) l’infini, qui est plus grand qu’un nombre quelconque assignable, par exem-

    ple l’asymptote d’une hyperbole,

  • 2) le maximum dans un genre, par exemple le maximum de toutes les éten-

    dues est tout l’espace,

  • 3) tout, c’est l’infini en Dieu qui seul est tout.

  • Je voudrais discuter seulement les deux premiers degrés de l’infini, en

    particulier l’exemple de l’asymptote de l’hyperbole. Elle présente, comme nous

    verrons, des difficultés particulières, parce qu’elle n’appartient pas seulement à

    la première classe des infinis. Donc il s’agit des quatre points suivants: 1. les

    trois présuppositions, 2. les notions d’infini et d’infiniment petit, 3. le calcul

    avec l’infiniment petit et l’infini, 4. la consistance des explications leibnizien-

    nes.

    34

    Pendant son séjour parisien il développa une théorie des quantités infinies

    et infiniment petites en même temps qu’une terminologie qui différait expres-

    sément de Cavalieri, Grégoire de St. Vincent et Galilei. Il s’appuya sur trois

    présuppositions essentielles:

  • 1) sur l’axiome que le tout est plus grand que ses parties,

  • 2) sur la géométrie modifiée des indivisibles,

  • 3) sur la méthode des preuves apagogiques.

  • 1.1. L’axiome que le tout est plus grand que ses parties

    Leibniz discute l’infini en comparaison avec les opinions de Galilei et

    Grégoire de St. Vincent. Il refuse la thèse de ces deux auteurs que l’axiome

    que le tout est plus grand que ses parties n’est pas valable en ce qui concerne

    l’infini. Il répète plusieurs fois3 qu’il est impossible que cet axiome n’est pas

    valable. Il est impossible que le tout équivaut à une partie. Leibniz a tenu

    ferme à cette opinion pendant toute sa vie.

    L’importance de cet axiome est éclaircie en particulier par deux problè-

    mes:

    a) Est-ce qu’il y a un nombre infini?

    Si l’on présuppose qu’il y a un nombre infini qu’on pourrait appeler le

    nombre le plus infini ou le plus grand (numerus infinitissimus seu maximus) on

    obtient une contradiction au sein de cet axiome. Donc ce nombre ne peut pas

    exister. Vers la fin de 1672, il compare le nombre infini avec zéro4 ou avec

    le néant5 ou il identifie ce nombre même avec zéro. Ce n’est pas si absurde

    comme on a dit il y a quelques années6. Car le nombre zéro se substitue au

    néant, en quelque sorte à l’ensemble vide. Il n’a, à la rigueur, aucun sous-

    ensemble sauf lui-même. Ce sous-ensemble est identique avec lui-même.

    L’axiome n’est pas valable seulement en ce cas. C’est pourquoi Leibniz prend

    en considération l’identification d’un nombre infini avec zéro laquelle il aban-

    donna un peu plus tard pendant son séjour parisien.

    35

    b) Quelle est la vraie signification des indivisibles?

    La réponse concerne le deuxième point.

    1.2. La géométrie modifiée des indivisibles

    Leibniz souligne plusieurs fois7 que la géométrie cavaliérienne des indi-

    visibles est trompeuse si l’on emploie cette méthode dans une forme qui n’est

    pas mûrie8. Son exemple illustre est le paradoxe de l’hyperbole. Il le discute

    dans le traité sur la quadrature des sections coniques en 1676. Il le discute

    avec Jean Bernoulli en 1698, qui l’avait discuté auparavant avec le cartésien

    Burchard de Volder9.

    D’abord il présuppose le théorème suivant:

    Dans une figure analytique simple ynxm = a ou bxm = yn, la zone entre

    deux ordonnées, l’arc de la courbe et l’axe est à la zone conjuguée entre les

    deux abscisses correspondantes, le même arc de la courbe et l’axe conjugué

    comme l’exposant de la puissance de l’ordonnée (variable y) à l’exposant de la

    puissance de l’abscisse (variable x).
    36

    En cas d’hyperbole conique les zones hachurées sont égales. Donc toutes

    les zones horizontales jusqu’à A remplissent l’aire 2C2BAM2C, toutes les zones

    verticales correspondantes remplissent seulement l’aire 2C2GM2C.

    Il s’ensuit qu’une partie est égale au tout. On peut déduire de semblables

    résultats absurdes en cas de toutes les autres hyperboles. L’erreur consiste en

    identifiant l’indivisible ou zéro avec l’infiniment petit quoiqu’il y ait une diffé-

    rence décisive entre ces deux notions.

    La dernière abscisse (ultima abscissa) A0B est inégale à zéro. A la rigueur il

    n’y a pas une telle dernière abscisse. Ce n’est qu’une façon de parler. Car Leib-

    niz avait précisé la façon cavaliérienne de parler d’une manière analytique, de

    la manière suivante:

    On comprend par «la somme de toutes les lignes droites» la somme de

    tous les rectangles sous les mêmes lignes droites réunies après avoir supposé

    un intervalle constant, toujours égal et indéfiniment petit (indefinitae parvita-

    tis
    )10.

    Leibniz dit «indéfiniment petit», il ne dit pas «infiniment petit» quoiqu’il

    ait en vue cette notion. Je ne veux pas taire qu’il produit de cette manière une

    difficulté grave qui se reflète dans sa correspondance avec Varignon en

    170111. Varignon veut identifier l’infiniment avec l’indéfiniment petit de la

    même manière que Descartes voulait identifier l’infini avec l’indéfini. Il est

    37

    caractéristique que Leibniz ne s’étend pas sur cette identification, tandis qu’il

    reprend l’expression incomparablement petit.

    Et en fait, en 1675, il avait écrit un manuscrit inédit jusqu’à maintenant

    «De infiniti et indefiniti differentia» ou «Sur la différence entre l’infini et l’in-

    défini»12. Il y discute la puissance d’un binôme et dit: La grande différence

    entre l’infini et l’indéfini s’éclaircit à l’aide de cet exemple illustre. Ce qu’il est

    valable en ce qui concerne un nombre indéfini, cela n’est pas valable à l’égard

    d’un nombre infini. «Certe indefinitus terminorum numerus est finitus, non

    ergo infinitus» ou «en tout cas un nombre indéfini de termes est fini, donc il

    n’est pas infini».

    Jonas Cohn n’avait pas tenu compte de cette différence fondamentale

    quand – à tort – il voulait remplacer l’infini par l’indéfini dans le cas des trois

    classes de l’infini13. Leibniz, il est vrai, facilitait cette confusion. Quand il

    expliquait la directrice, l’axe de la variable x, il l’appelait une certaine droite

    A1B2C «indefinitae longitudinis», «d’une longueur indéfinie»14.

    Donc l’explication leibnizienne mentionnée des indivisibles est déconcer-

    tante, car un théorème important sur des raisons finies ou infinies est basé sur

    le fait qu’une quantité infiniment petite n’est pas une quantité finie. Nous

    reviendrons plus tard à ce théorème.

    1.3. La méthode des preuves apagogiques

    On trouve dans le manuscrit mentionné inédit encore une remarque très

    significative. Leibniz dit que la méthode des quantités infinies est trompeuse.

    Il faut employer le raisonnement par l’absurde si l’on veut s’appuyer sur elles.

    C’est pourquoi son traité sur la quadrature des sections coniques repose sur la

    méthode des preuves indirectes15. D’abord il dit qu’il est dangereux de calcu-

    ler avec l’infini si l’on n’emploie pas le fil d’une preuve. Mais il souligne plu-

    sieurs fois qu’il convaincra même les sceptiques parce qu’il peut démontrer

    toujours que l’erreur est plus petite qu’une quantité quelconque donnée.

    Il dit littéralement: J’avoue que je ne sais aucune méthode jusqu’à mainte-

    nant à l’aide de laquelle on peut démontrer une seule quadrature sans le rai-

    sonnement par l’absurde. J’ai des raisons pour lesquelles je crains qu’on ne

    38

    puisse pas arriver à ce but à cause de la nature des choses sans les quantités

    fictives, c’est-à-dire les infinies et les infiniment petites.

    L’avantage crucial de sa méthode consiste en la possibilité de laisser à

    côté le procédé partagé en trois parties, d’inscrire et de circonscrire des poly-

    gones, d’employer une preuve indirecte, et de démontrer que l’erreur est plus

    petite qu’une erreur assignable. Il ne faut que comprendre que chaque figure

    curviligne est la même chose qu’un polygone avec infiniment de côtés dont la

    longueur est infiniment petite: un polygone avec infiniment d’angles (polygo-

    num infinitangulum
    )16. La courbe est mise en des pièces infiniment petites (frac-

    ta
    ). Il n’exclut pas des preuves directes de ces problèmes. Mais il ose affirmer

    qu’on peut les déduire seulement si l’on admet ces quantités fictives.

    Cette énonciation leibnizienne renferme de nouveau une difficulté grave.

    Car l’implication:

    On emploie des quantités infiniment petites ou infinies => on a besoin

    des preuves indirectes

    équivaut à l’implication

    On emploie des preuves directes => on n’emploie pas des quantités infi-

    niment petites ou infinies.

    Il répète la première implication encore en 1698 dans sa correspondance

    avec Jean Bernoulli17.

    2. Les notions d’infini et d’infiniment petit

    Leibniz a discuté en détail la notion de l’infini dans la première version

    barrée du scholie appartenant au théorème 11 de son traité sur la quadrature

    arithmétique des sections coniques18. Ces explications sont particulièrement

    intéressantes parce que Leibniz ne déduit que pas à pas une caractérisation

    satisfaisante de l’infini. Il abandonne vite un premier essai et il donne des

    raisons dans la deuxième version pour lesquelles la première possibilité consi-

    dérée est fausse.

    Il dit que la considération des espaces dont la longueur est infinie, mais

    dont la grandeur est finie, est «mémorable» (memorabilis), d’abord il avait dit

    «admirable». Il cite les auteurs qui ont calculé de telles espaces pour la pre-

    39

    mière fois, Torricelli, Grégoire de St. Vincent, Huygens et Wallis. En particu-

    lier il s’occupe de très près de l’opinion de Gaston Pardies sur ces résultats.

    Pardies les admira dans la préface de ses «Elémens de la géométrie» au plus

    haut degré19. Il y dit:

    «C’est là qu’on trouvera la nature et la mesure des espaces asymptotiques,

    dont la connaissance est la chose du monde la plus admirable, et qui fait voir

    le plus clairement la grandeur et la spiritualité de notre âme, puisque par la

    seule lumière de son esprit, pénétrant au-delà de l’infini, elle découvre si clai-

    rement des choses, que nulle expérience sensible ne lui peut apprendre, et

    qu’aucune puissance corporelle ne sçauroit seulement appercevoir. Ces espaces

    sont d’une étendue actuellement infinie. […] L’infini même tout immense et

    tout innombrable qu’il est, se réduit néanmoins au calcul et à la mesure de la

    géométrie, et que nôtre esprit, encore plus grand que lui, est capable de le

    comprendre. De toutes les connaissances naturelles que l’homme peut acquérir

    par son propre raisonnement, sans doute la plus admirable est cette compré-

    hension de l’infini».

    Et un peu plus tard il continue: «Oserai-je passer encore plus avant, et

    dire que dans cette même démonstration on trouve aussi la preuve invincible

    de l’existence de Dieu?»

    Leibniz commente ces mots d’une manière étonnament prosaïque. Il refu-

    se de telles déductions. Son ingénuité ne permet pas de cacher que ce n’est pas

    tellement admirable qu’il semble être aux hommes après le premier coup

    d’oeil. Il lui semble qu’il suffit de discerner la nature de l’esprit et ses opéra-

    tions du corps ou des choses qui ont de l’étendue et de la masse. L’action de

    l’esprit par laquelle nous mesurons les espaces infinis s’appuie sur une fiction,

    sur une ligne, qui est terminée selon la présupposition, mais infinie. Il s’éton-

    nerait beaucoup si quelqu’un pouvait réduire un espace absolument interminé

    entre la courbe et l’asymptote parfaite (asymptotos perfecta) à un espace fini. Ou

    au moins à un espace terminé. Leibniz a raturé cette dernière remarque20.

    Donc Leibniz explique son point de vue parce qu’il se peut que cela sem-

    ble être paradoxal. Il y a une grande différence entre indivisible et infiniment

    petit, entre interminé et infini.

    D’abord il discute les deux premières notions. La géométrie des indivisi-

    bles est trompeuse si l’on ne l’explique pas à l’aide des quantités infiniment

    petites. Car on n’emploie pas sûrement les points qui sont vraiment indivisi-

    40

    bles, mais des lignes, étant infiniment petites et à cause de cela divisibles. Elles

    sont des «parties infinitésimales» (infinitesimae partes) d’une droite.

    2.1. La ligne interminée

    De la même manière il y a une différence entre une quantité interminée

    et une quantité infinie. Il est très intéressant que Leibniz donne d’abord l’ex-

    plication suivante:

  • a) La ligne terminée est d’une certaine manière dans le milieu entre la ligne

    la plus petite et la ligne la plus grande c’est-à-dire la ligne vraiment inter-

    minée:

  • linea minima – linea terminata – linea maxima

    Il continue en disant que la ligne finie est le milieu entre – mais il s’in-

    terrompt et commence de nouveau.

  • b) La grandeur d’une ligne interminée est aussi peu le sujet des considérations

    géométriques que la grandeur d’un point. On additionne ou soustrait en

    vain même infiniment des points. Une ligne terminée répétée à volonté

    peut aussi peu effectuer ou épuiser une ligne interminée.

  • Au contraire une ligne terminée est constituée dans un ensemble n’im-

    porte quel de lignes finies, même si cet ensemble surpasse chaque nombre.

    Une ligne infinie, terminée se compose de lignes finies. Une ligne finie se

    compose de lignes infiniment petites, mais néanmoins divisibles.

    Donc on ne peut pas dire que la ligne terminée est la moyenne propor-

    tionnelle entre la ligne la plus petite (le point) et la ligne la plus grande (la

    ligne interminée).



    Mais:

    Une ligne finie est la moyenne proportionnelle entre une certaine ligne

    infiniment petite et une certaine ligne infinie et cela vraiment et exactement,

    mais non d’une certaine manière. De cette manière Leibniz refuse totalement

    la première solution.

    Désormais il est d’un avis, qu’il communiqua aussi à Jean Bernoulli21: Il

    n’existe ni un nombre le plus grand ou un nombre le plus petit ni une ligne

    minime (linea minima) ou un élément linéaire (elementum lineale). Tandis qu’on

    peut employer l’infini et l’infiniment petit dans le calcul ce n’est pas valable

    en ce qui concerne le minimum, et le maximum ou l’interminé.

    41

    Donc Leibniz accepte des lignes infinies différentes et des lignes infini-

    ment petites différentes. Si l’on choisit une ligne finie quelconque lf on trouve

    une ligne infiniment petite lip et une ligne infinie li, de telle manière qu’on

    obtient l’équation:

    li : lf = lf : lip

    La ligne finie est la moyenne proportionnelle ou on peut déduire l’équa-

    tion suivante:

    l2 f = li • lip

    Une telle équation n’est pas toujours valable mais seulement en quelques

    cas spéciaux, par exemple en cas de l’hyperbole conique.

    Si l’abscisse μ(μ) est infiniment petite, l’ordonnée (μ)λ, est infiniment lon-

    gue, c’est-à-dire plus grande qu’une droite quelconque désignable, le rectangle

    effectué par la droite infinie et la droite infiniment petite est égal à un carré

    fini constant selon la nature de l’hyperbole.

    Donc Leibniz définit de la manière suivante: une quantité infinie est une

    quantité soit terminée soit interminée qui est plus grande qu’une quantité

    quelconque assignable ou qu’une quantité qu’on peut désigner par des nom-

    42

    bres. Une quantité interminée est une quantité où l’on ne peut pas choisir un

    dernier point au moins d’un côté:

    quantité infinie

    (plus grande qu’une quantité quelconque assignable ou qu’une quantité qu’on peut

    désigner par des nombres)

    quantité terminée

    quantité interminée

    (sans dernier point au moins d’un côté)

    Leibniz ne discute pas la question de l’existence. C’est une tâche du méta-

    physicien d’examiner si la nature des choses permet de telles quantités. Le

    géomètre se contente de démontrer ce que s’ensuit de ce qu’on a posé. Il est

    du même avis dans la lettre que dans le traité: «On n’a point besoin de faire

    dépendre l’analyse mathématique des controverses métaphysiques ny d’assurer

    qu’il y a dans la nature des lignes infiniment petites à la rigueur».

    Leibniz étudie la notion de la quantité interminée dans plusieurs manu-

    scrits écrits pendant la même période, cela veut dire pendant le printemps de

    l’année 167622. Il dit dans une note marginale d’un écrit de Schuller23: J’ai

    fait toujours une différence entre immense et interminé, entre celui auquel on

    ne peut ajouter rien et celui qui est plus grand qu’un nombre assignable. Donc

    il identifie l’infini avec l’immense. Il y cite en exemple aussi l’espace infini

    entre l’asymptote et l’hyperbole conique.

    La série infinie 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 et ainsi de suite dont la somme est 1/0 cor-

    respond en quelque sorte à cet espace. Il comprend par zéro une quantité infi-

    niment petite. La lettre de Leibniz à Varignon du 2 février 1702 est bien

    connue où il souligne que les lignes infiniment grandes sont pourtant termi-

    nées24. Il avait ajouté dans une remarque raturée que l’infini pris à la rigueur

    doit avoir sa source dans l’interminé, «sans quoy je ne vois pas moyen de trou-

    ver un fondement propre à le discerner du fini»25.

    43

    2.2. L’espace absolument interminé

    Il est très intéressant de voir que Leibniz reprend cette question : si l’on

    peut réduire un espace absolument interminé à un espace fini26. Je dois expli-

    quer d’abord quelques notions et théorèmes afin que nous puissions compren-

    dre ses remarques.

    Il s’appuie sur le théorème suivant (7 du traité): On tire les ordonnées

    DnEn par des points quelconques Dn d’une courbe, lesquelles sont perpendicu-

    laires sur l’axe des abscisses. On tire les tangentes dans les points Dn jusqu’à

    l’axe des ordonnées. Les points d’intersection soient Tn. On transfère les sec-

    tions ATn en des ordonnées EnDn prolongées s’il est nécessaire et on obtient

    les points Fn. Les points Fn se trouvent sur une nouvelle courbe. L’espace

    entre l’axe des x, les deux ordonnées et la deuxième courbe est deux fois plus

    grand que l’espace entre la première courbe et les deux droites qui lient les

    points frontières avec le centre A.

    Leibniz démontre à l’aide de ce théorème de la transmutation le théorè-

    me suivant:

    Si la première courbe est le cercle, le centre A le centre du cercle, deux

    espaces entre deux ordonnées, l’axe des x et la nouvelle courbe (la soit-disant

    figure des sections) sont l’un à l’autre comme les angles qui correspondent aux

    points Dn du cercle.

    44

    Leibniz appelle cette figure la figure des angles.

    La preuve: D’après le théorème 7 l’équation suivante est valable: L’espa-

    ce limité par quatre lignes CAE1F1C = 2 • secteur D1ACD1

    A

    ou CAE2F2C = 2 • secteur D2ACD2

    Donc on obtient: 2(D1 ACD1) / 2(D2 ACD2) = D1 ACD1 / D2 ACD2 = D1C / D2C = ∢ CAD1 / ∢ CAD2

    Donc on obtient le corollaire suivant:

    L’espace de la figure des : une partie finie CAEFC

    angles dont la longeur

    est infinie CABG et

    ainsi de suite HFC

    45

    Leibniz ajoute dans une note marginale barrée plus tard: «L’angle droit

    semble correspondre à l’espace absolument interminé. Mais pour la raison

    mentionnée dans le scholie du théorème 11 je n’ose pas prétendre à cause de

    cela que cet espace est réduit à un espace fini». Nous avons discuté ce scholie

    auparavant. Il continue: «Il est sûr que l’angle droit ou bien ne correspond à

    aucun espace de la figure des angles ou à l’espace absolument interminé».

    3. Le calcul avec l’infiniment petit et l’infini

    Leibniz dit lui-même, qu’il est dangereux de calculer avec l’infini, si l’on

    n’emploie pas le fil d’une preuve, c’est-à-dire selon Leibniz, d’une preuve indi-

    recte. D’après la définiton de l’infiniment petit et l’infini il y a un nombre

    quelconque de telles quantités. J’ai emprunté toutes les lois au traité sur la

    quadrature arithmétique des sections coniques. Leibniz les emploie implicite-

    ment sans les avoir démontrées – sauf la sixième et la huitième loi. Il considé-

    rait de telles preuves comme inutiles pour la définition de ces quantités. Il

    aurait pu donner des preuves indirectes sans plus.

    46

    1. fini + infini = infini

  • 2.1 fini ± infiniment petit = fini
  • 2.2 x, y finis, x = y + infiniment petit => x - y ≈ 0

    (différence inassignable)
  • 3. infini1 - infini2 = infini3, si infini1 > infini2

    (ou infini1 : infini2 ‡ 1)
  • 4. infini ± infiniment petit = infini
  • 5 fini × infiniment petit = infiniment petit
  • infini ou

    /

  • 6. infini × infiniment petit — fini ou
  • \

    infiniment petit

    (on a besoin d’une preuve)

  • 7.1 infini × infini = infini
  • 7.2 xn infini => x infini
  • fini

    /

  • infini : infini
  • \

    infini

    (on a besoin d’une preuve)

  • 9. x infiniment petit, y > 0, y < x => y infiniment petit
  • 10. fini : infiniment petit = infini : fini = infini

    (plus grande qu’une raison assignable)
  • Corollaire : fini : infiniment petit = x : fini = > x infini

  • 11. infiniment petit : fini = fini : infini = infiniment petit (infinitésimal)

    Corollaire : fini : infini = x : fini => x infiniment petit
  • 12. x : y = (x + infiniment petit1) : (y + infiniment petit2)
  • Les lois 10 et 11 sont particulièrement importantes parce qu’elles permet-

    tent de démontrer qu’une quantité est infinie ou infiniment petite. Leibniz

    discute la solution de la sixième loi à l’aide de ces deux théorèmes. Le produit

    de deux facteurs est un rectangle: on doit examiner si ce rectangle est fini,

    infiniment petit ou infini. Donc l’aire du rectangle est la quantité x dont la

    grandeur est cherchée. Leibniz déduit une proportionnalité dont un côté est

    une raison connue, tandis que la raison de l’autre côté contient la quantité x.

    Leibniz prouve de cette manière le théorème 21 :

    Soit la courbe 0C1C2C une hyperboloïde (une hyperbole d’un degré n’im-

    porte quel) xnyn = a. Le rectangle sous l’abscisse infiniment petit A0B et l’or-

    donnée infiniment grande 0B0C est

    47

    1) une quantité infinie, si n > m,

    2) une quantité infiniment petite, si n < m,

    3) une quantité finie, si n = m.

    4. La consistance des explications leibniziennes

    Nous voulons faire ce qui est la tâche des géomètres selon Leibniz : Nous

    voulons examiner ce qui s’ensuit des présuppositions. Or il n’y a aucun doute

    que Leibniz emploie des formulations qui mènent en apparence ou vraiment à

    des contradictions. Nous voudrions considérer les trois exemples suivants.

    4.1. La notion de l’asymptote

    Il construit (théorème 11) la figure des segments (la figure des sections

    qui commence dans le point A) et prouve que la droite μλ est une asymptote

    48

    de la courbe par les points Dn. Dans ce but il montre que la courbe n’atteint la

    droite en aucun lieu. Il s’appuie sur le lemme qu’il est impossible que les deux

    parallèles μλ, AT ont un point commun. Donc nous obtenons l’implication:

    Si l’intersection de la droite d et de la courbe c est vide, d est une asym-

    ptote: d ∩ c = ∅ =>d asymptote. Est-ce qu’on peut renverser cette impli-

    cation?

    D’après Leibniz on peut répondre «oui» et «non». Il dit (théorème 22):

    Chaque hyperbole d’un degré n’importe quel a tous les deux axes comme

    asymptotes. Ils ne concourent point ou bien ils ne concourent qu’après un

    intervalle infiniment long avec la courbe.

    Donc on doit constater: d asymptote

    ou bien d ∩ c = ∅

    (théorème 11, scholie: jamais; théorème

    23: en aucun lieu)

    ou bien d ∩ c ‡ ∅

    8théorème 45)

    Néanmoins ce n’est pas une contradiction parce que d’après l’explication

    leibnizienne l’infini peut être interminé ou terminé. Si l’on a en vue la pre-

    mière possibilité, on obtient l’asymptote parfaite qui ne concourt pas avec la

    courbe qui appartient à la deuxième classe des infinis. Si l’on a en vue la

    deuxième possibilité, on obtient un point commun entre la droite et la courbe

    après un intervalle infiniment long. Leibniz emploie les deux conceptions.

    4.2. L’infiniment petit et zéro

    Les difficultés sont plus grandes à l’égard de l’infiniment petit. Car l’infi-

    niment petit n’est pas le terme générique comme l’infini qu’on peut diviser.

    Leibniz ne connaît pas un schème

    infiniment petit

    zéro

    inégal à zéro

    Mais il emploie ce schème de la manière suivante:

    infiniment petit

    zéro pratiquement,

    c’est-à-dire en calculant

    à la riguer inégal à zéro

    Je voudrais illustrer ce fait à l’aide de quelques exemples. Leibniz souli-

    gne très souvent la différence conceptuelle entre infiniment petit et zéro, par

    exemple quand il explique le paradoxe de l’hyperbole. Sa définition mathéma-

    tique de l’infiniment petit semble contredire cette constatation.

    49

    L’infiniment petit est défini par «plus petit qu’une grandeur assignable»

    (minus quavis assignabili quantitate) ou moins précisément «petit à volonté» (utcun-

    que parvus
    ) et de cette manière aussi «indéfiniment petit» (indefinitae parvitatis).

    D’après sa méthode des preuves indirectes il montre: Supposé que l’erreur ne

    devienne pas plus petite qu’une certaine quantité on peut effectuer par une

    partition plus fine de l’intervalle ou du polygone que l’erreur devient cepen-

    dant plus petite que cette quantité.

    Cette méthode rappelle la définition arithmétique moderne de la valeur

    limite d’une suite. Néanmoins il ne faut pas identifier les quantités infiniment

    petites avec des suites convergentes à zéro parce que Leibniz calcule avec cer-

    taines quantités fixes, dont la valeur dépend de l’interlocuteur fictif. Elles dif-

    fèrent de zéro, mais elles ne sont pas finies. De même les quantités infinies

    diffèrent des quantités interminées sans être finies. Il dit: Supposé que quel-

    qu’un conteste ses affirmations il lui montre que l’erreur est plus petite qu’une

    erreur assignable et par conséquent (adeoque) zéro27.

    Donc on obtient les implications:

    infiniment petit = > plus petit qu’une grandeur assignable = > zéro

    Donc on devrait déduire : infiniment petit = > zéro

    Quoique Leibniz refuse cette conclusion, il emploie les formulations sui-

    vantes :

  • a) Soient A, R, S, T des points d’une courbe. On cherche les ordonnées

    AA, RD, SF, TH. AA est infiniment petite ou un point (infinite parva seu punc-

    tum est
    ) (théorème 43).

  • b) Les puissances positives de zéro sont infiniment petites (théorème

    41). Il dit déjà dans une étude écrite vers la fin de 1672/le début de 167328:

    Toutes les puissances positives de zéro sont égales à zéro ou (seu) infiniment

    petites.

  • c) Le logarithme de zéro, de l’infiniment petit (théorème 45).

  • La grandeur des points est zéro. On ne peut pas obtenir une ligne

    par leur multiplication. Mais Leibniz emploie l’expression «point infinitési-

    mal» (punctum infmitesimum), cela veut dire une certaine ligne (id est linea quae-

    dam
    ). On peut déduire que Leibniz calcule avec l’infiniment petit comme s’il

    est zéro, c’est une quasi-égalité pour lui.

  • Si l’on considère l’équation CD = DF + FD et si l’on suppose que FD est

    infiniment petite, les quantités CD, CF diffèrent d’une manière non assignable

    50

    (théorème 46: inassignabiliter), on peut les prendre comme un (théorème 48: pro

    uno possunt haberi
    ). Victor Harnik introduit les notions

    microscopic equality (=) – macroscopic equality (≈)29

    ε est infiniment petit, si ε ≈ 0, mais il est valable ε ‡ 0. En fait Leibniz

    discernait ces deux espèces de l’égalité, mais il n’employait jamais deux nota-

    tions différentes.

    4.3. L’emploi d’un nombre infini

    Leibniz souligne souvent dans sa correspondance avec Jean Bernoulli,

    dans les Nouveaux Essais30:

    «Il n’y a point de nombre infini ny de ligne ou autre quantité infinie, si

    on les prend pour des véritables Touts. ... Il est vray qu’il y a une infinité de

    choses, c’est à dire qu’il y en a toujours plus qu’on n’en puisse assigner. L’infi-

    ni véritable c’est l’absolu. ... Un infini ne saurait estre un vrai tout.»

    S’il calcule avec une quantité infinie, cette quantité est infinie, mais ter-

    minée. Je voudrais donner deux exemples :

    a) Il démontre que la somme de la série infinie

    1 + 1/2 + 1/3 + ...

    est une quantité infinie (théorème 45). Il la désigne par 1/0 ou A. Afin de

    démontrer que la somme des nombres triangulaires réciproques est 2, il calcule

    de la manière suivante:

    Soit 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 et ainsi de suite = 2B

    1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 et ainsi de suite = B (c’est-à-dire il divise la

    série par 2)

    51

    = > A - B = 1/2 + 1/3 + 1/4 ... = A - 1

    = > B = 1 = > 2B = 2 = > 1 + 1/3 + 1/6

    Il emploie une fiction utile qui rend possible des résultats apparemment

    corrects. A vrai dire, en termes modernes il fait aussi une différence entre les

    séries convergentes et divergentes. Car il dit qu’on peut démontrer par beau-

    coup d’exemples que les séries dont la longueur est infinie mais la grandeur est

    finie, c’est-à-dire que les séries infinies convergentes sont des vraies quantités.

    Mais on doit constater à l’égard de toutes les séries infinies que nous ne pou-

    vons pas progresser jusqu’à l’infini. La nature d’une série infinie est connue si

    la loi de la progression est claire. L’esprit la parcourt pour ainsi dire dans un

    seul coup (uno ictu) (théorème 32, scholie).

    Dans la mesure où la nature d’une série divergente est connue, on a le

    droit de calculer avec elle.

    b) Il démontre le théorème suivant (théorème 20):

    Soient données trois grandeurs X, Z, V. Que V + Z ait une raison finie à

    V + Z de l’inégalité, c’est-à-dire la raison n’équivaut pas à l’unité:

    (V + X) / (V + Z) ‡ 1

  • (1) Si X, Z sont finies, V sera aussi finie.

  • (2) Si X ou Z est infinie, V sera aussi infinie.

  • La preuve:

  • Soient X et Z finies. Cela implique que V est finie. Preuve: Supposons

    que X et Z soient finies, mais V infinie = > Il s’ensuit de cela: V + X infinie,

    V + Z infinie (c’est-à-dire Leibiz calcule: finie + infinie = infinie)

  • = > Il s’ensuit (V + X) - (V + Z) infinie

    Car si l’on soustrait un infini plus petit d’un infini plus grand qui ont une

    raison finie de l’inégalité le reste est infini. Donc on obtient une contradiction

    parce que (V + X) - (V + Z) = X - Z est finie selon la présuppostion.

  • 2) Soient X ou Z infinie. Cela implique que V est infinie. Preuve: Pour-

    vu que Z soit infinie, X finie (sans restriction de la généralité) mais V soit

    finie, on obtient V + X est finie, V + Z est infinie.

  • Donc il s’ensuit une contradiction parce que V + X a une raison finie à V

    + Z de l’inégalité d’après la présupposition. Mais ‒ devons-nous constater ‒ la

    raison fini: infini n’est pas finie, elle est infiniment petite. La contradiction

    consiste en le fait que l’infiniment petit n’est pas une quantité finie.

    .

    1.
    G. W. Leibniz, Nouveaux essais sur l’entendement humain, A VI, 6, Berlin 1962, p. 377.
    2.
    G. W. Leibniz, Über Spinozas Ethik, A VI, 3, Berlin 1980, p. 385; G. W. Leibniz, Com-

    municata ex literis Domini Schulleri
    , A VI, 3, Berlin 1980, p. 282.
    3.
    G. W. Leibniz, Accessio ad arithmeticam infinitorum, A III, 1, Berlin 1976, pp. 11, 15;

    Mathematica, A VII, 1, Berlin 1988, p. 657; Aus und zu Galileis Discorsi, A VI, 3, Berlin 1980,

    p. 168.
    4.
    G. W. Leibniz, Mathematica, A VII, 1, Berlin 1988, p. 657.
    5.
    G. W. Leibniz, Accessio ad arithmeticam infinitorum, A III, 1, Berlin 1976, p. 11.
    6.
    J. E. Hofmann, Einleitung, A III, 1, Berlin 1976, p. LI.
    7.
    G. W. Leibniz, De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae cuius corollarium est trigono-

    metria sine tabulis
    , éd. par L. Scholtz, dans: Die exakte Grundlegung der Infinitesimalrechnung bei Leibniz

    (Teildruck), Marburg 1934, p. 69.
    8.
    G. W. Leibniz, De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae, cit., p. 70.
    9.
    G. W. Leibniz, De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae, cit., p. 69; GM III, 2,

    pp. 522-524.
    10.
    G.W. Leibniz, De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae, cit., p. 57.
    11.
    GM IV, p. 89.
    12.
    Catalogue critique des manuscrits de Leibniz, fascicule II (mars 1672-novembre 1676), réd. par

    A. Rivaud, Poitiers 1914-1924, n. 909.
    13.
    J. Cohn, Geschichte des Unendlichkeitsproblems im abendländischen Denken bis Kant,Leipzig 1896

    (Hildesheim 1960), p. 173.
    14.
    G.W. Leibniz, De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae, cit., p. 55.
    15.
    Ibid., p. 53.
    16.
    G. W. Leibniz, De superficiebus coniformium rectilineorum inprimis cono scaleno. Et quaedam de

    solida geometria
    , A VII, 1, Berlin 1988, p. 150.
    17.
    GM III, 2, p. 524.
    18.
    G.W. Leibniz, De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae, cit., pp. 62-64.
    19.
    G. Pardies, Elémens de géométrie, où par une méthode courte et aisée l’on peut apprendre ce qu’il

    faut sçavoir d’Euclide, d’Archimède, d’Apollonius, et les plus belles inventions des anciens et des nouveaux géomè-

    tres
    , Paris 1671. Je cite la cinquième édition: A La Haye 1705, Préface, pp. A7-A8.
    20.
    L. Scholtz n’a pas publié toutes ces variantes dans son édition partielle. On les trouve-

    ra dans mon édition critique du traité sur la quadrature arithmétique des sections conique qui

    est sous presse, et qui paraîtra à Barcelone.
    21.
    GM III, 2, p. 535.
    22.
    G.W. Leibniz, Communicata ex literis Domini Schulleri; Linea infinita est immobilis; De magnitu-

    dine; Linea interminata; Extensio interminata
    , A VI, 3, Berlin 1980, nos. 19, 59, 64, 65, 66.
    23.
    G. W. Leibniz, Communicata ex literis Domini Schulleri, A VI, 3, Berlin 1980, p. 281.
    24.
    GM IV, p. 91.
    25.
    On trouve une discussion éclaircissante de ce passage dans A.Robinet, Architectonique

    disjonctive automates systémiques et idéalité transcendantale dans l’œuvre de Leibniz
    , Paris 1986, p. 288.
    26.
    G.W. Leibniz, De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae, cit., éd. par E. Kno-

    bloch (voir note 20), Théorème 14, Corollaire.
    27.
    G. W. Leibniz, De quadratura arithmetica circuii ellipseos et hyperbolae, cit., p. 58.
    28.
    G. W. Leibniz, De potentiis ipsius 0, A VII, 1, Berlin 1988, p. 675.
    29.
    V. Harnik, Infinitesimals from Leibniz to Robinson, Time to bring them back to school, The

    mathematical Intelligencer, VIII (1986), pp. 41-47, 63.
    30.
    GM III, 2, p. 535 s.; Nouveaux essais sur l’entendement humain, A VI, 6, Berlin 1962,

    p. 157.


    Eberhard Knobloch . :

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