IDÉE ET FICTION: SONDAGES DANS LA MATHÉMATIQUE DE L'ART ANALYTIQUE
Pierre Costabel
IDÉE ET FICTION: SONDAGES DANS LA MATHÉMATIQUE DE L'ART ANALYTIQUE
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Faire place dans le présent colloque à des sondages dans la littérature

mathématique des XVII et XVIII siècles a été, si j’ose dire, une heureuse

idée. Car cette littérature qui a constitué le support d’une science nouvelle et

qui privilégie a priori une activité mentale quasi entière et exclusive, a bien

quelque chance de nous fournir matière à réflexion.

Si je précise dans le titre de mon exposé que ma référence est l’art analy-

tique, c’est que ce terme caractérise la novation qui a transformé la mathéma-

tique au début du XVII siècle et ouvert les voies d’un développement consi-

dérable. Sous la plume de l’initiateur, François Viète, le terme associe deux

substantifs Ars analjtices et c’est seulement à la fin du siècle qu’avec un Jacques

Bernoulli est apparu en latin Ars analytica où analytique est devenu adjectif. Il y

a intérêt à remonter à l’expression originelle qui a été bien assimilée par les

traductions françaises de Viète aux environs de 1630. A côté des procédures

traditionnelles de l’Analyse et de la Synthèse, est proposée à la mathématique

une troisième voie de résolution des problèmes, l’Analytique. Elle consiste à

supposer tel problème résolu, et en analysant les relations que cette supposi-

tion entraîne entre des éléments constitutifs classés en deux catégories, les

donnés ou connus et les inconnus, établir comment ces derniers se trouvent

déterminés. Ainsi à l’usage de l’Analyse se trouve associée une écriture, d’où

un art, caractéristique de l’exercice de la pensée à l’aide d’un outil particulier.

La question de savoir si cet outil a été fiable au cours de son développement

n’a pas pu manquer de se poser. Et c’est ce qui me paraît au cœur d’une

enquête sur le mot idée.

Dans la mesure où je suis invité à faire cette enquête sur un ensemble

d’œuvres pratiquement absentes des grandes entreprises informatiques, je ne

peux présenter que quelques sondages. Sondages que je crois cependant signifi-

catifs. Je ne peux aussi que m’attacher à des œuvres en langue française parce

que c’est dans cette langue que l’art analytique a été en fait exprimé de maniè-

re massivement majeure à l’époque considérée. La conscience d’une double

limitation m’est suffisamment présente pour que mon propos soit ici accepta-

ble, me semble-t-il.

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Le mot idée est absent des œuvres de Viète, aussi bien dans leur version

originale latine que dans leurs traductions françaises, au moins en ce qui

concerne les passages clefs où on devrait le trouver. Même constatation —

cette fois exhaustive — dans le petit ouvrage d’Albert Girard Invention nouvelle en

l’Algèbre
, publié à Amsterdam en 1629, qui a eu une importance considéra-

ble.

Toutefois je relève les expressions suivantes:

fol. 12 v. Construction algébrique des questions. On y procède le plus

souvent comme aux fausses positions.

fol. 13 z. 1.5 Pour résoudre une question, il la faut remettre en question de

nombres abstracts.

Il est clair que l’auteur entend bien que les objets considérés par la

méthode mathématique sont le résultat d’une abstraction, mais ce n’est pas par

hasard qu’il parle de construction. Les objets abstraits ont la qualité d’outils

pour l’homo qui est faber avant d’être sapiens, et le fait est confirmé par la déno-

mination qu’Albert Girard introduit aux folios 20-24 à propos des équations. Il

appelle en effet factions les sommes des racines, ou de leurs produits deux à

deux, ou trois à trois, etc., c’est-à-dire ce que nous appelons les fonctions

symétriques des racines. Le mot faction, qui ne s’est pas conservé en mathéma-

tiques, est très caractéristique d’une conception opératoire.

Ceci étant, on pourrait légitimement penser que celui qui s’est affirmé en

1637 comme un grand maître de l’art analytique, a modifié la situation du

discours de manière significative.

Or — nous l’avons entendu — l’indexation du Discours de la Méthode et des

Essais assure que si le mot idée est l’objet d’un emploi caractéristique dans le

Discours il est absent de la Géométrie et des Météores et n’intervient qu’une seule

fois dans la Dioptrique avec un sens mathématique (l’idée de la distance ).

Le cas Descartes n’est donc pas réglé par l’analyse très approfondie que

Jean-Robert Armogathe nous a présentée du point de vue lexical et philoso-

phique. La nécessité d’y revenir s’impose du fait même des déclarations que

l’auteur du Discours n’a pas ménagé concernant l’inspiration qu’il a puisée dans

les mathématiques. L’une de ces déclarations est d’ailleurs remarquable en ce

que Descartes, sans renier le mot art, manifeste le désire de prendre quelque

distance par rapport à lui.

Il s’agit du passage de la Seconde Partie, AT VI, p. 17, 1. 11 p. 18, 1. 7.

Descartes énonce les jugements que lui inspirent la méditation des trois

arts qu’il voit en œuvre en mathématique. La logique sert à prouver mais ne

permet pas d’inventer. L’analyse des Anciens, trop liée à la considération des

figures, fatigue l’imagination. L’Algèbre des modernes est encombrée de signes

et de définitions, et n’est en définitive qu’un art confus. Le dessein de Descar-

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tes a été de tirer de ces trois arts une méthode qui conjugue leurs avantages en

éliminant leurs inconvénients.

Et un peu plus loin (AT VI, p. 20, 1. 18-21), il est bien précisé que ladite

méthode est conjointe à l’usage de chiffres, c’est-à-dire encore de signes, les plus

courts qu’il soit possible. La méthode est donc encore un art, mais organisé de

manière économique.

Je crois que l’on doit tenir fermement cette vision du projet cartésien.

Dans la mesure où il est incontestable que Descartes a donné à l’art analytique

un essor original et décisif, il est probable que l’économie dans laquelle le

promoteur a inséré son apport est fondamentale. Il y a lieu, en tout cas, de ne

pas en négliger l’avertissement pour l’enquête que nous essayons de faire.

A reprendre les occurrences du mot idée dans le Discours, on ne peut omet-

tre le lien de quelques-unes avec un substrat mathématique, d’où la nécessité

d’une étude particulière. Celle-ci cependant n’a de sens qu’en fonction de deux

remarques, à savoir que d’une part il s’agit d’un substrat mathématique large et

que d’autre part l’appel de Descartes à ce substrat intervient occasionnelle-

ment dans une séquence du Discours très structurée par rapport à idée. La

séquence, assez longue, a une introduction, un corps ou développement pro-

prement dit et une sorte de conclusion. Cela a son importance.

L’introduction consiste à affirmer (IV Partie, AT VI, p. 32) que les sens

nous font imaginer ce que sont les choses et que cela entre dans l’esprit. Mais

celui-ci peut feindre que ce qui est proposé ainsi à son assimilation ne soit pas

vrai. C’est-à-dire que l’esprit a une faculté de jugement suspensive en matière

de vérité ou de réalité. Toutefois cette faculté n’a pas droit d’exercice incondi-

tionnel. On ne peut pas feindre la non-existence du moi pensant, ni la fausseté

des conceptions claires et distinctes. Il est, à mon avis, remarquable qu’avant

de prononcer le mot idée Descartes s’exprime à l’aide des verbes feindre et

concevoir et souligne que la qualité «claire et distincte», dans le second cas,

limite le pouvoir de fiction (AT VI, p. 33, 1. 20-23).

Le développement dans lequel apparaît idée est ensuite motivé explicite-

ment par Descartes. Partant de la constatation que dans les choses matérielles

on est accoutumé à ne rien considérer qu’en imaginant, des philosophes en

viennent à dire que ce qui n’est pas imaginable est inintelligible (AT VI, p. 37,

1. 4-9). Ils ont tort. L’idée de Dieu et de l’âme prouve que l’entendement ne se

réduit pas à un exercice sur les données des sens et celles-ci n’ont aucun privi-

lège d’antériorité ni de priorité. Il y a, au contraire, une supériorité de l’enten-

dement sur l’imagination que Descartes caractérise en disant que nos idées ou

notions
, en tant que claires et distinctes, viennent de Dieu et sont réelles (AT VI,

p. 38, 1. 17-24).

Est-ce à dire qu’il n’y a que de telles idées? En conclusion d’une

réflexion philosophique où la mathématique a sa place — je vais le préciser —

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Descartes énonce une belle maxime. La raison ne nous dicte pas que ce que

nous voyons ou imaginons soit véritable, mais elle nous dicte que nos idées ou

notions
doivent avoir quelque fondement de vérité (AT VI, p. 40, 1. 6-10).

Ainsi Descartes exclut de la dignité de l’idée ce qui ne serait que pure

fiction et je suis heureux de constater que la constellation des vocables qui

seront au cœur des discussions mathématiques de la fin du siècle est déjà com-

plète dans le Discours de la Méthode. Et il me semble trouver raison de ce que

l’auteur de la Géométrie n’ait pas éprouvé le besoin de faire usage du mot idée

dans ce texte.

C’est que, en fait — comme en prendra conscience un héritier lointain

que je citerai tout à l’heure — l’économie de la réforme mathématique consis-

te d’abord à se limiter à l’usage d’idées claires et distinctes, toutes relatives à la

considération du fini et soustraites à la discussion parce que réelles. Les choses

ne seront jamais aussi faciles en Physique. La dernière occurrence de idée dans

le Discours en est l’avertissement.

On lit en effet à la V Partie (AT VI, p. 55) que «la lumière, les sons, les

odeurs, les goûts, la chaleur et toutes les autres qualités des objets exté-

rieurs [...], la faim, la soif et les autres passions intérieures peuvent imprimer

diverses idées
[dans le cerveau] par l’entremise des sens».

C’est-à-dire que tout se passe comme si avant de terminer le Discours Des-

cartes avait comme un remords quant à l’insuffisance de son propos antérieur

selon lequel des données sensibles entreraient seulement dans l’esprit pour y

être confrontées à l’entendement. Il tient à compléter que ces données ont des

alliés intérieurs, de telle sorte qu’elles ne se contentent pas d’entrer, mais

qu’elles impriment. Aussi la Dioptrique qui fait suite au Discours est-elle l’Essai de

la Méthode où l’on rencontre de plein fouet la distinction entre idée et image.

Cela ressort à l’évidence de l’attaque que dirige Descartes contre un critè-

re de ressemblance. D’une part signes et paroles ne ressemblent en aucune façon

aux choses qu’elles représentent et d’autre part rien n’oblige les images à res-

sembler en tout aux objets qu’elles représentent. De ce dernier point, la perspec-

tive fournit illustration puisque la vue montre des losanges et des ovales là où

l’on a des raisons de savoir ou de penser qu’il s’agit de carrés et de cercles (cf.

Dioptrique, Discours IV, AT VI, p. 112, 1. 25-28, p. 113, 1. 2-3 et 1. 18-22).

Il m’a paru que ce prolongement des considérations du Discours dans la

Dioptrique n’est pas à négliger lorsqu’il s’agit de comprendre les comparaisons

mathématiques que Descartes a placées dans le corps de son développement

sur le mot idée. Car il faut bien revenir à ces passages quelque peu énigmati-

ques.

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Dans la perspective de l’activité de l’entendement, Descartes déclare

qu’un géomètre peut en dormant inventer quelque nouvelle démonstration,

de telle sorte que le sommeil n’empêche pas la vérité d’une idée fort distincte

(AT VI, p. 39, 1. 13-17). Quelle que soit l’appréciation favorable à la qualité

exceptionnelle de Descartes en matière de mathématiques, il est difficile

d’admettre qu’il donne là le résultat d’une expérience personnelle formelle.

Sans doute brode-t-il quelque peu à partir du fait assez commun qu’au

réveil l’esprit voit apparaître distinctement un enchaînement de raisons qui

lui échappait avant le sommeil. Au fond il s’agit d’une autre correction à la

rencontre entre entendement et imagination, qui consiste à affirmer que le

premier a, avant la seconde, un pouvoir d’impression. Pouvoir révélé par le

passage à l’état de veille. Je note que Descartes réfère cette révélation à une

expérience mathématique.

Mais ce type de référence est beaucoup plus étroit lorsque Descartes

entreprend d’analyser l’idée d'un être parfait. L’idée de triangle, dit-il, comprend la

propriété que la somme des angles est deux droits, mais pas l’existence, car il

n’y a peut-être aucun triangle au monde tandis que l’idée d’un être parfait com-

prend son existence. Et s’il y a ainsi une différence radicale, il reste que l’idée

d’un être parfait comprend son existence comme l’idée de triangle comprend

l’égalité à deux droits de la somme des angles. Comme, aussi, l’idée de sphère

comprend l’égalité des distances à un point central (AT VI, p. 36, 1. 22-27:

Descartes dit en même façon que).

Ce «comme» est tout à fait curieux. Il est impossible d’en négliger une

explication.

L’idée de triangle, c’est d’abord l’idée que trois points peuvent être sous-

traits à la condition d’être alignés. Et c’est ensuite que l’on peut parcourir les

segments de droite qui les joignent de telle sorte qu’en partant d’un point on y

retourne sans jamais revenir sur ses pas. Sans doute n’est-ce là qu’un cas très

particulier et privilégié d’un circuit fermé, mais c’est le plus simple et sur

lequel il est aisé de raisonner. A chaque changement de direction, il y a rota-

tion d’un angle qui est supplémentaire (complément à deux droits) de l’angle

intérieur à la figure. Comme cela se produit trois fois, et que l’on fait un tour

complet, donc quatre droits, l’arithmétique assure bien que la somme des

angles intérieurs est deux droits. Il est donc parfaitement exact que cette pro-

priété est contenue dans l’idée de triangle, mais une idée qui n’est certes pas

première et qui a suivi l’évolution d’une recherche vers la découverte d’un

caractère essentiel.

Une remarque analogue peut être faite à propos de l’idée de sphère, car ce

n’est pas par hasard que la version latine a traduit par l’idée de cercle. Sphère

ou cercle c’est d’abord une figure parfaitement ronde, c’est-à-dire qui ne chan-

ge pas de quelque point où l’on se place pour la regarder et qui peut aussi se

mouvoir en restant la même, glisser sur elle-même. Sous ce dernier aspect qui-

conjugue le mouvement et l’immuable, l’égalité des distances à un point cen-

tral est bien révélée. Le cas est moins savant que le précédent, mais la leçon

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est analogue. Une idée première a provoqué la méditation pour découvrir un

caractère essentiel.

Cela est bien conforme à l’occurrence latine relevée chez Descartes par

Jean-Robert Armogathe: « idea repraesentat rei essentiam » mais les exemples évo-

qués montrent que l’accès à la représentation d’une essence n’est pas immédiat

et que l’idée part d’une forme approximative pour serrer progressivement un

contenu.

Est-ce dans ce sens que pour Descartes l’idée d’un être parfait tire profit des

idées mathématiques? Je crois que oui.

Il est en effet très clair que la notion de perfection, physique ou morale,

est liée dans le Discours à une méditation sur une application particulière de la

notion de plus et de moins.

On ne déforme pas ce qu’a écrit Descartes (AT VI p. 34 1.13-16) en

disant: «L’idée d’un être plus parfait que le mien ne peut venir du néant, et il

y a répugnance que le plus parfait soit une suite ou une dépendance de moins

parfait» (encore que cette répugnance soit moins forte que celle qui affecte

l’idée que de rien procède quelque chose).

Dans la mathématique du fini qui est la base de l’économie cartésienne la

notion de plus et de moins a un caractère essentiel, c’est elle qui permet de

parler de «grandeurs», et elle est normalement corrélative. Elle est le fonde-

ment de classements bien ordonnés sur des collections d’objets abstraits

dénombrables (le dénombrable pouvant d’ailleurs être indéfini, sans limites),

classements pouvant être lus dans un sens ou dans le sens opposé. Le cas des

nombres introduit seulement la nécessité de précautions de langage. Il n’y a

pas de nombre plus grand que tous les autres, car l’addition de l’unité assure

toujours une suite, qualifiée de plus grande, et en sens inverse les fractions de

numérateur 1 sont indéfiniment petites, mais de telle sorte qu’il n’y en a pas

une plus petite que toutes les autres.

Descartes n’a pas pris parti, que je sache, sur une question pourtant soule-

vée en son temps, à savoir si l’on peut donner à zéro la dignité de nombre,

mais il est certain qu’il a partagé les hésitations de beaucoup de ses contempo-

rains devant la spéculation de Galilée sur la chute d’un corps pesant abandon-

né à lui-même et partant du repos pour acquérir aussitôt un mouvement. Le

passage d’une vitesse nulle à un certain degré de vitesse lui a toujours paru une

notion suspecte. Autrement dit sa réflexion mathématique lui rendait familière

l’idée de l’indéfìniment petit et de la descente vers zéro, mais s’opposait à

l’idée inverse d’une remontée ou sortie à partir de zéro.

Ceci étant, les déclarations de Descartes relevées plus haut concernant

le classement des êtres en perfection ont un substrat mathématique évident.

Elles constituent la perfection comme une qualité positive susceptible de

degrés, mais telle que la corrélation complète du plus et du moins serait à

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rejeter et que le classement correspondant des êtres ne peut se lire qu’en

descendant.

S’il «répugne» à Descartes qu’il en soit autrement c’est sans doute qu’il

s’appuie sur une expérience humaine commune. Seule la conscience d’un

défaut, d’une imperfection, n’est pas illusoire. La nécessité de privilégier l’or-

dre dans le sens descendant entraîne priorité d’existence du haut vers le bas.

Aussi il en résulte que s’il y a analogie mathématique, précisément au bas

de l’échelle, l’analogie est impossible de l’autre côté. Il doit exister un être plus

parfait que tous les autres, ou le plus parfait, ou encore absolument parfait. Le

postulat est indispensable à la cohérence d’un classement effectué sur un prin-

cipe d’ordre à sens unique du plus vers le moins.

Dans la mesure où Descartes a explicité ce principe à sens unique en

matière de comparaison relative des êtres, en perfection, la dissociation est

impossible à imaginer en sa pensée avec la spéculation mathématique. Et lors-

qu’il dit que l’idée d’un être parfait — c’est-à-dire absolument parfait — com-

prend son existence comme l’idée de triangle comprend l’égalité de la somme

des angles à deux droits, le comme «signifie une analogie en profondeur», au

niveau d’une implication logique. C’est à ce niveau que l’idée de triangle ou

de sphère est suggestive. De l’idée «d’un être plus parfait que le mien» Descar-

tes est passé, par implications successives et emboîtées l’une dans l’autre, à

l’idée de l’être parfait et à l’idée de son existence.

Voilà ce qui a motivé le long examen que je viens de faire, malgré la

remarquable enquête de Jean-Robert Armogathe dans l’ensemble du corpus

cartésien. Si Descartes n’a pas utilisé le mot idée dans sa Géométrie , c’est que

l’économie de celle-ci ne comportait pas au niveau des concepts la démarche

évolutive que l’auteur, pour des raisons d’ailleurs tirées d’exemples mathémati-

ques, estimait nécessaire à un résultat digne d’une désignation spéciale. Cela

me paraît important pour nos propos, ici.

Et cela compense largement la déception qui résulte d’une enquête

sérieuse bien que non informatique. Je n’ai pas trouve le mot idée dans les

œuvres mathématiques représentatives de l’art analytique qui se sont succédées

en langue française jusqu’à la fin du XVII siècle. J’ai dù aller jusqu’à la Science

du Calcul
(1714) de l’oratorien Charles-René Reyneau pour trouver dans la Pré-

face la déclaration suivante, solennelle et significative.

Les mathématiques se sont toujours distinguées par leur certitude. Cette

certitude leur vient de deux causes. La première est qu’elles ne s’appliquent

qu’à des objets dont on a des idées claires et distinctes. Car il n’y a pas d’objets

dont on ait des idées plus claires et plus distinctes que celles que nous avons

des nombres, des trois dimensions de l’étendue, et de toutes les grandeurs dont

on cherche à connaître les rapports en mathématiques.

Non seulement l’inspiration cartésienne de ces lignes est évidente, mais

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on y trouve de manière formelle le groupement si célèbre entre les adjectifs

clair et distinct et le mot idée, alors que sous la plume de Descartes ces adjectifs

s’appliquaient à des pensées ou à des conceptions avec seulement un voisinage de

idée. Découvrir le groupement en question dans la Préface d’un ouvrage de

didactique mathématique de 1714 et constater qu’il faut aller jusqu’à cette date

pour le trouver, cela confirme à mon avis la méfiance des têtes mathémati-

ciennes pour toute spéculation sur l’objet mathématique qui aurait tendance à

oblitérer l’opératoire par rapport au mental.

Et je dois ouvrir une courte parenthèse. La méfiance en question n’existe

plus aujourd’hui, à tel point que ce qui intéresse les mathématiciens modernes

lorsqu’ils veulent bien considérer l’histoire de la mathématique, c’est de situer

la victoire de ce que l’on appelle le «fornalisme». Comme si l’avènement de ce

formalisme n’avait pas été l’affaire d’une lente évolution, la lenteur ayant des

raisons profondes et dignes de considération. La constatation que je viens de

faire et de soumettre à l’attention, à propos du texte de Reyneau, me paraît

avertir du danger de visions trop simplistes.

Car si cet auteur veut bien indiquer qu’il y a une mathématique de base

relevant des idées claires et distinctes, à savoir la mathématique des propor-

tions, il sait évidemment que quelques années plus tôt il a été obligé dans son

Analyse démontrée (1708) de mentionner la mathématique nouvelle du calcul dif-

férentiel et intégral.

Or qu’a-t-il dit au sujet des infiniment petits dont les Anciens usaient

avant les modernes?

Les nouveaux géomètres n’emploient les mêmes différences infiniment

petites que pendant la résolution des problèmes, ils ne les conçoivent réelles et

subsistantes
que pendant leur calcul, et au moment qu’il [le calcul] leur a donné

la résolution, ils supposent que les différences s’évanouissent et deviennent

nulles.

Et un peu plus bas:

La seule différence est que les Anciens ne faisaient que des démonstra-

tions qu’on appelle per absurdum et que les nouveaux calculs démontrent tout

directement (Analyse démontrée tome II, préface, p. XIV).

Ainsi Reyneau usait lui-même d’un argument à deux étages. Le dernier,

que je viens de détacher, ne lui était pas spécial. Leibniz l’avait employé en

1698 lorsqu’il affirmait à Jean I Bernoulli que l’on peut «fermer la bouche»

aux opposants du fait que les résultats obtenus par le nouveau calcul sont les

mêmes que ceux donnés par la méthode d’exhaustion des Anciens. Mais Leib-

niz avait très vite compris les limites de cet argument. C’est que le nombre de

résultats sans correspondance avec l’héritage antique ne cessait de croître. Aus-

si la controverse en France, violente en 1700-1702, avait-elle exigé de Leibniz

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un effort pour répondre à la question quid est? à propos des infinis, petits et

grands, introduits dans le calcul. Je renvoie pour cette histoire à une annexe

spéciale, seule convenable. Je retiens seulement ici la conclusion qui nous inté-

resse: l’objet de la controverse, dit Leibniz, concerne des choses idéales ou des

fictions bien fondées
.

Tous les mots sont ici lourds de sens. Il ne s’agit pas seulement d’idées

mais de ce qu’elles entraînent comme choses introduites dans le calcul, de telle

sorte que le mot faction serait insuffisant et que c’est le mot fiction qui vient

naturellement sous la plume de Leibniz pour exprimer l’union de l’idée et de

l’opératoire mathématique.

Bien entendu, tout est suspendu à l’adjectif bien fondé et je ne saurais m’en-

gager dans la discussion correspondante. Je note seulement qu’il y a différence

avec ce que Reyneau concevait un peu plus tard comme explication. A savoir

– c’est la première partie de la citation ci-dessus — que le caractère éphémè-

re d’objets qui ne sont introduits que pour la durée du calcul, et disparaissent

ensuite, dispense de s’interroger sur ce qu’ils sont. Le moins que l’on puisse

dire est que pour Reyneau, ces objets ne méritaient pas la qualification d’idées

claires et distinctes.

Fontenelle, le célèbre secrétaire perpétuel de l’Académie Royale des

Sciences, l’a dit en 1727 dans la préface de ses Eléments de la géométrie de l’infini.

Parlant du succès du calcul différentiel et intégral de Leibniz, il ajoute:

Il faut convenir cependant que toute cette matière est environnée de

ténèbres assez épaisses et de là vient que quelques-uns de ceux qui embrassent

les idées de l’Infini ne les prennent pourtant que pour des idées de pure supposition

sans réalité
, dont on ne se sert que pour arriver à des solutions difficiles, qu’on

abandonne dès qu’on y est arrivé et qui ressemblent à des échafaudages qu’on

abat aussitôt que l’édifice est construit.

Le style sacrifie évidemment à l’élégance. En écrivant Infini avec la majus-

cule initiale Fontenelle caractérise en quelque sorte la consistance propre de

tout un domaine de pensée et d’activité mathématique, et la formule «les idées

de l’infini» est plus belle que précise. Toutefois elle marque que le mot idée est

doté d’une vertu de rassemblement: si l’Infini est un domaine, vaste et diversi-

fié, c’est par rapport à la notion d'idée que se maîtrise sa diversité. Et la notion

prend un tour particulier quand il s’agit des objets du calcul de l’infini: ce sont

des idées de pure supposition sans réalité.

Sans doute Fontenelle était-il davantage littérateur que mathématicien,

mais c’est précisément à cause de ses succès littéraires que son influence est à

prendre en compte. C’est un fait que l’expression qu’il a donnée à ce que

Leibniz appelait fiction se retrouve sous-jacente à la fin du siècle sous la plume

du mathématicien Lagrange, avec seulement le souci de récupérer ce à quoi

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Fontenelle n’était pas sensible, c’est-à-dire le souci d’un fondement et l’exclu-

sion de l’arbitraire pur et simple.

Voici en effet ce qu’écrivit Lagrange dans l’introduction de sa Théorie des

fonctions analytiques
(1797):

Les premiers géomètres qui ont employé le calcul différentiel [...] Font

fondé sur la considération des quantités infiniment petites de différents ordres

et sur la supposition qu’on peut regarder et traiter comme égales les quantités qui

ne diffèrent entre elles que par des quantités infiniment petites à leur égard.

Contents d’arriver par les procédés de ce calcul d’une manière prompte et sûre

à des résultats exacts, ils ne se sont point occupés d’en démontrer les princi-

pes.

Ceux qui les ont suivis (Euler, D’Alembert, etc.) ont cherché à suppléer

à ce défaut en faisant voir [...] que les rapports des différences infiniment peti-

tes, seules quantités qui interviennent réellement dans le calcul, ne sont autres cho-

ses que les limites des rapports des différences finies ou indéfinies (p. 2).

Mais il faut convenir que cette idée, quoique juste en elle-même n’est pas assez

claire
pour servir de principe à une science dont la certitude doit être fondée sur

l’évidence. D’ailleurs il me semble que (le calcul tel qu’on l’emploie sur les

quantités supposées infiniment petites conduit à ce que) la véritable métaphysi-

que de ce calcul consiste en ce que l’erreur résultant de cette fausse supposition

est redressée ou compensée par celle qui naît des procédés mêmes du calcul

suivant lesquels on ne retient dans la différenciation que les quantités infini-

ment petites du même ordre.

Newton, pour éviter la supposition des infiniment petits, a considéré les

quantités mathématiques comme engendrées par le mouvement [...]. La mé-

taphysique paraît plus claire parce que tout le monde a ou croit avoir une idée

de la vitesse. Mais d’un côté, introduire le mouvement dans un calcul qui n’a

que des quantités algébriques pour objet c’est y introduire une idée étrangère

[...], de l’autre il faut bien avouer qu’on n’a pas une idée bien nette de ce que

c’est que la vitesse d’un point à chaque instant (p. 3).

J’ai souligné dans ces citations les termes qui forment constellation autour

de idée chez un mathématicien illustre auquel l’art analytique doit une exten-

sion considérable et qui a eu une influence incontestable sur le XIX siècle. Je

ne sais pas si Lagrange — dont la culture était vaste — avait effectivement lu

Fontenelle, comme je ne sais pas si Fontenelle avait effectivement lu Reyneau

et connu la position de Leibniz exprimée dans une lettre à Varignon. Je ne nie

évidemment pas l’intérêt qu’il peut y avoir à s’assurer de transmissions par

lecture ou information. Mais il me semble – et c’est bien le cas de le dire ici

– que les idées ont une sorte de vie propre quelque peu transcendante aux

esprits qui les véhiculent.

Et je note que la conscience d’un Lagrange ne rejetait pas, à la fin du

XVIII siècle, l’emploi du mot idée pour caractériser le ressort profond de l’ac-

tivité mathématique, avec des nuances bien intéressantes. Il n’est pas question

en mathématiques d’admettre une idée qui ne soit pas fondée, mais il peut y

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avoir des idées justes et en même temps insuffisamment claires. Il arrive même,

comme dans le cas de la vitesse d’un mouvement en un point, que l’on croie

avoir une idée alors qu’il n’y a rien de net à l’appui. Sans que le mot soit pronon-

cé, il y a dans le fait d’avoir une idée, une part importante de fiction et elle peut

aller jusqu’à l’usage d’une fausse supposition. C’est-à-dire que là où un Leibniz

n’admettait que la fiction bien fondée, et bien fondée a priori, un Lagrange, fort

des résultats du développement de l’art analytique, justifie a posteriori le fon-

dement par une compensation d’erreurs.

Le moins que l’on puisse dire est que cette conception, qui fut en son

temps très commune, n’est pas particulièrement claire...: elle résulte en fait

d’une constatation: la part de fiction que le mathématicien met dans une idée

n’est pas mise en question lorsque l’usage de cette idée ne conduit pas à des

contradictions.

Il me semble que mon propos s’achève ainsi sur une leçon intéressante.

En deux siècles de succès l’art analytique n’est parvenu à s’apprivoiser à l’idée

que par la confiance dans l’épreuve de la fiction. Oserai-je le dire: cette épreuve

n’est jamais définitive.

148

Annexe

LEIBNIZ ET LA NOTION DE FICTION BIEN FONDÉE

Mon propos est de m’attacher à l’expression de Leibniz lorsque le 20 Juin

1702 il parle à Varignon de «fiction bien fondée». C’est une expression fran-

çaise. Telle quelle je ne l’ai pas retrouvée ailleurs sous la plume de Leibniz et

je ne sache pas qu’elle existe sous sa plume en latin ou en allemand. J’aurais

tendance à dire qu’il s’agit d’un hapax et en admettant même que ma connais-

sance des textes soit mise en défaut, je ne crois pas qu’elle puisse l’être beau-

coup. C’est-à-dire que l’expression considérée n’est peut-être pas un hapax, lié

à un contexte de langue française, mais que son occurrence est néanmoins

quasi singulière. Et le traitement informatique des textes montre depuis une

dizaine d’années combien les phénomènes de ce genre sont dignes d’attention.

Ils manifestent en général chez un auteur l’achèvement d’un cheminement

plus ou moins long, la découverte d’une formule satisfaisante pour condenser

la vérité d’une pensée. Je veux essayer de voir si la «fiction bien fondée» ren-

tre dans cette perspective.

C’est dès le début de 1702 que Leibniz a dû intervenir pour soutenir Pier-

re Varignon dans le débat suscité à l’Académie Royale des Sciences par Michel

Rolle, contre le calcul différentiel et intégral. Il faut donc examiner la corres-

pondance qui remonte à quelques mois avant la déclaration qui nous intéresse

ici.

Dans la longue lettre de Leibniz à Varignon du 2 février 1702, on lit que

les «racines imaginaires comme √-2 ne laissent pas d’être utiles et même

nécessaires à exprimer des grandeurs réelles», puisque le développement de

l’analytique prouve l’intérêt «des idées propres à abréger les raisonnements et

fondées en réalités», enfin qu’«il ne faut point s’imaginer que la science de l’infini

est dégradée par cette explication [introduction de l’incomparable] et réduite à

des fictions» (Math. Schr. IV, p. 92-93). Le 14 avril suivant Leibniz déclare à

Varignon: «J’avais écrit il y a déjà quelques années à M. Bernoulli de Gronin-

gue que les infinis et infiniment petits pourraient être pris pour des fictions

semblables aux racines imaginaires sans que cela dût faire tort à notre calcul,

ces fictions étant utiles et fondées en réalités». Dès lors la «fiction bien fondée» de

Juin 1702 apparaît bien comme l’achèvement d’un cheminement dont les éta-

pes sont d’ailleurs éclairantes.

Je note d’abord que c’est en vain que, pour suivre la déclaration du 14

149

avril, on cherche dans la correspondance de Leibniz avec Jean I Bernoulli une

confirmation explicite, au sens strict.

Il y a cependant une expression très voisine à la date du 7 juin 1698. A la

suite du débat avec Nieuwentijt Leibniz écrit à Jean Bernoulli:

Fortasse infinita quae concipimus et infinite parva imaginaria sunt sed apta

ad determinanda realia ut radices quoque imaginariae facere soient (Math. Schr.

III/2 p. 499).

Dès lors, si l’on met à part le fait que Leibniz, faisant le 14 avril 1702

référence à sa correspondance antérieure avec Bernoulli, emploie le mot fiction

là où il disait imaginaria, il y a apparemment homogénéité parfaite des contenus

à cinq ans de distance. A savoir que l’analogie avec l’usage des imaginaires en

algèbre est fondamentale pour une saine conception des notions infinitistes.

D’aucuns en déduiront que l’apparition du mot fiction est donc d’importance

mineure.

C’est ce que je conteste. Il y a lieu en effet de considérer avec attention

les propos de Leibniz. L’analogie avec l’imaginaire algébrique est en 1695 pré-

sentée sous l’adverbe fortasse et cette nuance reste manifestement sous-jacente

dans les lettres de février et avril 1702 ci-dessus citées.

Il faut évidemment citer davantage pour en rendre compte. Après avoir

évoqué les racines imaginaires de l’algèbre, Leibniz déclare le 2 février qu’il

est:

impossible par exemple d’exprimer sans intervention des imaginaires la

valeur analytique d’une droite nécessaire à faire la trisection de l’angle donné,

comme on ne saurait établir notre calcul des transcendantes sans employer les

différences qui sont sur le point d’évanouir, en prenant tout d’un coup l'incompara-

blement petit
au lieu de ce qu’on peut assigner toujours plus petit à l’infini.

Ainsi l’analogie pressentie brièvement en 1698 par «apta ad determinan-

da realia ut radices imaginariae» s’est révélée avec le temps plus délicate à

expliciter. S’il est aisé en effet de constater que les formules de Cardan utili-

sées avec les imaginaires donnent pour une équation du 3 degré des valeurs

réelles de racines que le transfert dans l’équation authentifie, il est moins faci-

le de produire des exemples permettant de déclarer réels les résultats du Calcul

différentiel et intégral. La preuve de réalité est indirecte. Elle réside dans

l’identité des résultats avec ceux obtenus par les méthodes anciennes d’ exhaus-

tion. Leibniz n’en a pas fait mystère. Le 31 décembre 1700 il a écrit à Jean

Bernoulli:

Perutile est os [adversarii] occludi per reductionem ad demonstrationes

veterum more formatas (Math. Schr. III/2 p. 644).

Mais s’il est possible de fermer la bouche de l’adversaire en lui montrant

que l’on aboutit plus vite et plus aisément à des résultats qu’il admet, il est

150

moins commode de caractériser pourquoi. Aussi la formule du 2 février 1702

est très intéressante.

Les démonstrations more veterum se ramènent toutes à conclure une égalité

du fait d’une différence inassignable, plus petite que toute donnée. «Prendre

tout d’un coup l’incomparablement petit», ce n’est donc pas autre chose que

changer la place de cette notion, l’introduire à l’origine des opérations de calcul

en lui donnant un nom, et avoir la confiance que cela n’attente pas à la struc-

ture des raisonnements.

Toutefois il est évident que cette formulation; heureuse, marque une dis-

tinction avec l’imaginaire algébrique, car pour celle-ci la confiance en son opé-

ratoire est essentiellement assurée a posteriori. Aussi Leibniz, après avoir

énoncé que les opérations de l’algèbre sont «fondées en réalités» — de réalité

signifiant les vérifications ou absences de contradiction a posteriori —, éprou-

ve le besoin de déclarer que les infinis de son Calcul ne se réduisent pas à des

fictions. Le mot fiction qui apparaît dans le texte du 2 février 1702 est appelé par

la nécessité de bien exprimer la différence entre le calcul algébrique et le cal-

cul différentiel à travers ce qu’ils paraissent avoir en commun. Dans les deux

cas, avec l’imaginaire et les infinis on nomme, donc on feint des êtres mathémati-

ques et il y a analogie bien exprimée par le mot fiction. Mais dans le second cas,

celui des entités du Calcul différentiel et intégral, il n’y a pas de réduction à une

fiction qui ne serait simplement justifiée qu’a posteriori. Il ne s’agit pas d’une

pure fiction.

Je ne saurais nier que la longue lettre du 2 février 1702 offre des difficul-

tés parce que du début à la fin Leibniz varie quelque peu dans ses expressions,

mais à travers ces variations un thème s’affirme.

L’analyse mathématique ne saurait dépendre des controverses métaphysi-

ques car s’il est impossible d’assurer qu’il y a dans la nature des infiniment

petits ou grands à la rigueur, cela n’empêche pas que «l’infini à la rigueur doit

avoir sa source dans l’interminé, sans quoi je ne vois pas moyen de trouver un

fondement propre à le discerner du fini». Peu importe que cette citation expli-

cite figure sur la minute de Hanovre dans des conditions qui ont fait douter

Gerhardt de sa présence dans la lettre effectivement adressée à Varignon. Il

n’y a aucum doute qu’à la suite, Leibniz déclare qu’il a crû suffisant, dans son

élaboration mathématique «d’expliquer l’infini par l’incomparable» et que plus

loin, après avoir affirmé la non réduction pure et simple à une fiction, il ajou-

te:

Il reste toujours un infini syncatégorématique, comme parle l’École.

C’est-à-dire que quelles que soient les chicanes et les subtilités que l’on

puisse opposer, les aristotéliciens eux-mêmes admettent, au fond, l’infini

potentiel, et Leibniz n’en demande pas plus.

151

Jusque-là, tout va bien. Mais voilà qu’en poursuivant sa lettre, Leibniz a

comme un regret. Revenant encore à l’analogie, il énonce que de même que

les imaginaires,

les infinis et infiniment petits sont tellement fondés que tout se fait dans

la Géométrie, et même dans la nature, comme si c’étaient de parfaites réalités.

Et au cours du paragraphe de conclusion, il énonce que les choses idéales

n’existent peut-être pas dans la nature, mais qu’«en récompense le réel ne lais-

se pas de se gouverner par l’idéal et l’abstrait».

Autrement il n’y aurait point de science ni règle, ce qui ne serait point

conforme au souverain principe.

Ainsi il est clair que Leibniz n’a pas achevé sa laborieuse missive du 2

février 1702 sans essayer de donner à l’expression «fondé en réalités» un sens

qui soit en définitive applicable aussi bien aux imaginaires de l’algèbre qu’aux

entités infinitistes. Et c’est pourquoi le 14 avril il emploie l’expression, comme

je l’ai noté plus haut, en faisant référence à sa correspondance antérieure avec

Jean Bernoulli.

Mais le 20 juin il ne le dit plus. C’est que dans l’intervalle Varignon lui a

appris que Fontenelle, le célèbre secrétaire de l’Académie Royale des Sciences,

préparait une métaphysique du Calcul de l’infini. Et du coup Leibniz a pris

conscience du danger.

Entre nous — écrit-il — je crois que Mr. de Fontenelle a voulu railler

lorsqu’il a dit qu’il voulait faire des éléments métaphysiques de notre Calcul.

Pour dire le vrai, je ne suis pas trop persuadé moi-même qu’il faut considérer

nos infinis et infiniments petits autrement que comme des choses idéales ou

comme des fictions bien fondées (Math. Schr. IV p. 110).

Ainsi Leibniz a fait l’aveu de sa propre incertitude et la «fiction bien fon-

dée» est une formule qui conclut un chemin sinueux. Chemin dont les étapes

sont très nettes: fiction certes, mais pas du tout pure et simple, donc fondée.

Fondée comment? «En réalités». C’est trop dire puisque des esprits distingués

se méprennent. Alors il faut se résoudre à dire simplement bien fondée.

Peut-être Varignon aurait-il embarrassé Leibniz en lui demamdant ce

qu’il faut entendre très précisément par là. Peut-être Leibniz lui aurait répon-

du que la formule, éminemment syncatégorématique, renvoyait à tout ce qu’il

avait expliqué antérieurement.

Mon propos ne saurait en tout cas s’arrêter sur la constatation d’un che-

min sinueux. J’ai pensé utile de chercher si Leibniz parlait ailleurs de fiction et

de fondement.

Il me semble que le mot de fiction vient d’abord sous sa plume en matiè-

re de droit et de politique. Dans un texte que Grua situe aux environs de

1695, on lit:

152

Lorsqu’on se feint conseiller et ministre d’État d’un prince ennemi, on

pense à ce qu’il pourrait penser et entreprendre et à ce qu’on pourrait lui

conseiller [...]. Cette fiction excite nos pensées et m’a servi plus d’une fois à

deviner au juste ce qui se faisait ailleurs.

Et dans un autre texte, daté celui-là de juillet 1696, Leibniz déclare qu’il y a:

un genre de présomption à laquelle on ne peut opposer aucune preuve

contraire et qui diffère à peine d’une fiction.

Entre 20 occurrences, j’ai retenu ces deux-là comme significatives de ce

que l’activité de Leibniz dans des domaines assez éloignés de la mathématique

l’avait déjà conduit, à la veille des objections de Nieuwentijt, à réfléchir à la

notion de fiction. C’est bien une fiction que de se mettre en pensée à la place

de l’adversaire ou de l’ennemi, mais l’expérience prouve que c’est utile et que

cela aide à «deviner juste». Présumer diffère à peine de feindre, mais c’est tout

de même permis lorsqu’on ne peut opposer aucune preuve contraire.

Sautons quelques années. Dans les Nouveaux Essais sur l’entendement humain

(1704), le dialogue entre Philarète et Théophile contient bien des passages

caractéristiques. Par exemple, à propos de l’adage du droit romain «pater est

quem nuptiae demonstrant», Théophile (Leibniz) souligne que «la substitution

de l’institutif au naturel n’est que présomption quelquefois, c’est-à-dire juge-

ment qui fait passer pour vrai ce qui peut-être ne l’est pas» et que «cette pré-

somption juris et de jure se réduit à une fiction» (Phil. Schr. V, p. 231). Et un

peu plus loin (p. 235-36) Philarète n’est pas blâmé de dire:

Nous avons ordinairement une notion aussi claire ou plus claire de la

Relation que de son fondement,

mais Théophile corrige:

On peut dire que ceux qui ne savent point le fondement des relations

n’en ont que des pensées sourdes et insuffisantes, quoique ces pensées puissent

suffire à certains égards et en certaines occasions.

Enfin, plus loin encore (p. 250), Théophile propose d’«appeler les idées

vraies ou fausses par rapport à une autre affirmation tacite qui est celle de la

possibilité. Ainsi les idées possibles sont vraies et les impossibles sont faus-

ses».

Je crois que cette évolution de la réflexion philosophique de Leibniz

aurait pu l’amener à identifier la «fiction bien fondée» avec l’«idée possible»,

en y adjoignant seulement ce qu’il avait dit à Jean Bernoulli: «a posse ad esse

non valet consequentia» (Math. Schr. III/2, p. 625).

Que conclure en définitive? Leibniz a été incontestablement hanté durant

des années et dans divers domaines, comme à certains points de vue, par les

153

notions de fiction, et de fondement; les objections faites à son calcul l’ont aidé

à clarifier l’application mathématique et on s’instruit beaucoup à suivre ses

efforts. Bien fonder est resté cependant pour lui un acte qui échappe à une

évidence rationnelle entière et dont la justification n’est pas séparable de

conséquences a posteriori. C’est, me semble-t-il, une grande leçon.



Pierre Costabel . :

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