METHODOLOGISCHE EINHEIT UND CHARAKTERISTISCHE.VIELHEIT IN LEIBNIZ’ MATHEMATISCHEM SCHAFFEN
Heinz-Jürgen Heß
METHODOLOGISCHE EINHEIT UND CHARAKTERISTISCHE. VIELHEIT IN LEIBNIZ’ MATHEMATISCHEM SCHAFFEN
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Mathematische Gegenstände und mathematische Methoden

Die zentralen Wesenszüge der Mathematik haben historisch betrachtet

mehrere entscheidende Wandlungen erfahren. War die μαθηματικὴ τέχνη

zunächst eine praktische Disziplin des konkreten Messens und Rechnens,

so wurde sie in griechischer Zeit zu einer beweisenden Wissenschaft fort-

entwickelt. Diese prototypische Bedeutung behielt sie bis in die frühe Neu-

zeit hinein, wo ‘more geometrico’ gleichbedeutend für logisch zwingend

und allgemeingültig stand. Im 18. Jahrhundert bildete die Mathematik in

Verbindung mit der theoretischen Physik den Garanten für die Anwen-

dbarkeit menschlicher Rationalität zur Erklärung des Naturgeschehens.

Eine uneingeschränkte Vorhersehbarkeit und damit Beherrschbarkeit der

En guise d’introduction et en nous appuyant sur l’histoire des mathématiques nous mettons

en évidence le changement perpétuel des traits caractéristiques des mathématiques, de la concep-

tion des objets mathématiques et de la prédomination des méthodes mathématiques. Nous exami-

nons ensuite l’oeuvre mathématique de G. W. Leibniz, soit imprimée soit inèdite, pour savoir s’il est

possible d’en dégager une unité de fond ou de méthode. Or la multiplicité prédomine, on n’en

saurait mettre en évidence une cohérence interne. Nous intercalons un sommaire de la théorie de

la connaissance selon Leibniz et nous montrons que le «bonum commune» s’y présente comme

objectif suprême du savoir humain. Or la connaissance humaine étant strictement limitée cette fin

ne peut être poursuivie qu’à l’aide de certains procédés compensateurs: l’analyse et la synthèse, le

repérage d’analogies et la supposition d’une logique universelle. Selon Leibniz cette logique com-

prend l’«ars judicandi» basée sur le principe de l’identité, et l’«ars inveniendi» appuyée sur le

principe de la continuité (l’analogie). L’unité méthodologique dont Leibniz se sert à avancer la

connaissance a comme concepts-limite l’unité individuelle (la substance) et l'unité universelle

(Dieu resp. sa création) - des concepts corrélatifs qui constituent en même temps des concepts-li-

mite de l’analyse respectivement de la synthèse. Nous examinons ensuite cette unité méthodolo-

gique que nous venons de repérer - par rapport à l’analyse et à la synthèse d’objets mathémati-

ques, à l’emploi de structures analogiques de procédés mathématiques et à la raison mathématique

déductive et inductive - et nous en dégageons les limites. En conclusion nous proposons des co-

nsidérations plus générales sur la relativité des points de vue relationnels et surtout corrélatifs.

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Welt durch den Menschen schien in greifbare Nähe gerückt zu sein. Im let-

zten Jahrhundert zeigten dann die experimentellen Naturwissenschaften

und die Technik deutliche Grenzen einer umfassenden Mathematisierung

der Welt auf. Parallel dazu verlief die Herausarbeitung struktureller und

kategorialer Gemeinsamkeiten mathematischer Gegenstände und Metho-

den. Um die letzte Jahrhundertwende wurde schließlich auch der Glaube

an die innermathematische Unfehlbarkeit (Widerspruchsfreiheit) durch die

Russellsche Antinomie erschüttert, woraus einerseits die Tendenz zu einer

universalen Axiomatisierung der Mathematik und andererseits die Bestre-

bungen zu einer intuitionistischen Fundierung dieser Disziplin resultierten.

Dem Wandel der zentralen Wesenszüge der Mathematik entspricht

der Wandel in der Auffassung der mathematischen Gegenstände. Wurden

Zahlen und geometrische Figuren in vorgriechischer Zeit noch weitgehend

unreflektiert benutzt, sprach Platon diesen Gebilden ein eigenständiges Sein

im Reich der Ideen zu: die bisher realen Gegenstände der Mathematik wur-

den zu idealen Gegenständen des Geistes. In der frühen Neuzeit gesellten

sich diesen Idealisierungen die unendlich kleinen Indivisibilien (‘fiktive’

Größen) und die imaginären (‘falschen’) Größen hinzu, die zunächst zwar

nicht als reguläre mathematische Objekte akzeptiert wurden, mit denen

sich aber formai gut rechnen und letztendlich zu gesicherten mathema-

tischen Ergebnissen gelangen ließ. Die Zahl der rein formalen Kalküle nahm

im 18. Jahrhundert in Mathematik und theoretischer Physik stark zu, bis in

der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts eine Rückbesinnung auf die Grundla-

genfragen der Mathematik einsetzte, die in der axiomatischen Mengenlehre

ihren bisher letzten Ausdruck fand. Für die numerische Mathematik des 20.

Jahrhunderts waren allerdings weniger die Seinsweisen mathematischer Ge-

genstände von Belang als vielmehr die im Rahmen der Formalisierung und

Axiomatisierung der reinen Mathematik entwickelten Kalkiile und Algori-

thmen, mit deren Hilfe mathematische Approximationen und Simulationen

unter Einbeziehung statistischer Gesetzmäßigkeiten möglich wurden. Den-

noch bleiben bis heute etliche Desiderate hinsichtlich der Gewißheit mathe-

matischer Gegenstände; so etwa die Beweisbarkeit der Existenz unendlicher

Mengen (Unendlichkeitsaxiom) oder die Beweisbarkeit der Existenz des

Kontinuums geringster Mächtigkeit (Kontinuumshypothese).

Obwohl eine grundsätzliche Reflexion iiber die mathematischen Me-

thoden im Verlauf der Mathematikgeschichte erst verhältnismäßig spät

einsetzte, wurde doch seit frühester Zeit die Beziehung von Mathematik

und Logik thematisiert. Hier ist vor allem Aristoteles zu nennen, der die

mathematischen Objekte als von den Dingen abstrahierte Eigenschaften an-

sali und auf diese Eigenschaften die klassische Logik ebenso anwandte wie

auf die konkreten Eigenschaften der empirischen Objekte. Die logisch (und

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schon teilweise axiomatisch) durchgeformte Mathematik, wie sie in Euklids

Elementen ihren Höhepunkt fand, ist ohne Aristoteles nicht denkbar. Auf

seiten der angewandten Mathematik entwickelte vor allem Archimedes eine

erste systematische Approximationsmathematik, indem er die krummlini-

gen Abstraktionsgebilde wie Kreis, Kugel etc. zu berechenbaren geradlini-

gen bzw. empirisch bekannten Objekten ins Verhältnis setzte oder sie

durch Schrankenbildung näherungsweise bestimmte. Den nächsten großen

Fortschritt brachte die Einführung von Buchstaben als Bezeichnung mathe-

matischer Größen (Viète), welche die Algebra revolutionierte, da durch sie

eine Vielzahl von Einzelfällen in einer einzigen Formel zusammengefaßt

werden konnte. Die konsequente Ausdehnung dieses Verfahrens auf geo-

metrische Objekte gelang Descartes mit seiner Koordinatengeometrie. Als

schließlich ab Mitte des 17. Jahrhunderts die transzendenten Größen

(Exponentialgleichungen, unendliche Reihen, Differential- und Integral-

größen) hinzukamen, geriet die anschauliche Geometrie durch die einset-

zende Algebraisierung und Formalisierung in die Gefahr, weitgehend aus

der Mathematik verdrängt zu werden. Zugleich entwickelte sich ein erbit-

terter Methodenstreit, der vor allem die Zulassung künstlicher, in der Natur

nicht nachweisbarer Größen, Bezeichnungen und Verfahren betraf. Auch

der Unterschied von Approximationsmathematik und reiner Mathematik

wurde erstmals grundlegend problematisiert (Newton, Leibniz). Aber we-

gen der unbezweifelbaren Erfolge der Mathematik in den exakten Natur-

wissenschaften obsiegten zunächst die Vertreter einer ergebnisbezogenen

Betrachtungsweise: Wenn das mathematische Ergebnis richtig und physika-

lisch nutzbar war, sollten alle dazu erforderlichen Methoden erlaubt sein.

Erst das 19. Jahrhundert unternahm eine methodische Neubegründung

nahezu aller mathematischen Objekte, von den natürlichen Zahlen bis hin

zur Theorie der Grenzwerte und der Überabzählbarkeit. In unserem

Jahrhundert gewannen dann, beflügelt durch die Möglichkeiten der ele-

ktronischen Datenverarbeitung, die Algorithmen und Kalküle der diskreten

numerischen Mathematik mehr und mehr an Einfluβ, so daß sie heute den

mengentheoretischen Methoden der reinen Mathematik des Kontinuums

den Rang streitig machen. - lm Rückblick läßt sich also feststellen, daß die

Mathematikgeschichte erfüllt ist von einer nahezu unbegrenzten Vielfalt

mathematischer Methoden und von einem standigen Auf und Ab metho-

dologischer Prävalenzen.

Die Vielheit in Inhalt und Form der mathematischen Publikationen

Erwägt man die Fragestellung, ob das mathematische Schaffen von G.

W. Leibniz stärker von Einheit stiftenden Gesichtspunkten oder mehr von

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pluralistischen Aspekten geprägt ist, so drängt sich sofort die zweite Alter-

native auf. Selbst wenn nur die verhältnismäßig geringe Zahl von Publika-

tionen, die Leibniz auf mathematischem Gebiet vorzuweisen hat, zugrunde-

gelegt wird, dominiert die übergroße Themen- und Verfahrensvielfalt. Die

thematischen Inhalte, nach der Chronologie geordnet, reichen von Kom-

binatorik, Zahlentheorie über Flachenbestimmungen und Integrationen,

Reihenlehre, mathematisch-physikalische Problemstellungen, Wirtschafts-

mathematik, allgemeine Differentialrechnungstheorie, spezielle Kurven, Dif-

ferentialgeometrie, Exponentialgleichungen, Differentialgleichungen, ma-

thematische Grundlagenfragen bis hin zur Binärarithmetik und zu Indi-

zierungsverfahren der Determinantenrechnung, wobei diese Aufstellung

keinesfalls vollständig sein kann, da jeweils nur das Hauptthema einer

Publikation berücksichtigt ist.

Vielleicht erwächst aus dieser großen thematischen Vielheit unverhofft

eine Einheit, wenn man das methodische Verfahren der Leibnizschen Pu-

blikationen in den Mittelpunkt der Betrachtung stellt. Doch weit gefehlt;

auch hierbei stößt man auf Pluralität und Verschiedenartigkeit, wo Einheit-

lichkeit zu erwarten wäre. Zwar kreist die überwiegende Mehrzahl seiner

Publikationen um das Desiderat einer Erweiterung der ‘analyse ordinaire’

durch Einbeziehung des ‘nouveau calcul des transcendantes’,1 worunter

Leibniz einmal die Theorie der Exponentialgleichungen und die der unend-

lichen Reihen, zum anderen aber auch die Theorie der Differentiale bzw.

Integrale und der dazugehörigen Gleichungen verstand und in deren Be-

reich auch eine Vielzahl neuer mathematischer Objekte (Optimierungskur-

ven, differentialgeometrische Kurven) fiel, zu welchen die bisherige Descar-

tessche Mathematik keinerlei adäquaten Zugang bot. Aber die Art und

Weise, in der Leibniz diese große mathematische Herausforderung seiner

Zeit in seinen Zeitschriftenbeiträgen behandelte, war keineswegs methodi-

sch einheitlich; es sei denn, man sieht die Einheitlichkeit darin, daβ, was

auch immer Leibniz an neuen mathematischen Erkenntnissen mitteilte, die

zu ihrer Entdeckung führende Methode unterschlagen wurde: “II est bon

cependant de ne pas prostituer nos Methodes, sur tout à l’egard des gens,

qui en usent avec un peu de supercherie”.2 Die Gründe für den Mangel an

methodischer Einheitlichkeit der Vorgehensweise sind weniger bei den

Inhalten als bei den Anlässen der Leibnizschen Publikationen zu suchen:

Diese wurden nämlich in ihrer überwiegenden Mehrzahl durch die Erfor-

dernisse der Respublica literaria bestimmt. So brachte Leibniz in jungen

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Jahren Proben seines Könnens und später Texte zur Sicherung seiner Prio-

ritätsansprüche sowie Reaktionen auf Publikationen oder briefliche Mittei-

lungen konkurrierender Gelehrter an die Öffentlichkeit, wobei viele Bei-

träge zugleich auch als Unterstützung der wichtigsten deutschen Gelehrten-

zeitschrift, der Acta eruditorum, gedacht waren. Publikationen aber, die ein

ausgewähltes mathematisches Gebiet systematisch und tendenziell erschöp-

fend behandelten, suchte man bei dem Autor Leibniz beinahe vergeblich.3

In Zeitschriftenbeiträgen, die aus den unterschiedlichsten außeren Anlässen

und häufig ohne Zugriffsmöglichkeiten auf frühere Aufzeichnungen zur je-

weiligen Thematik niedergeschrieben wurden, mußte die Darlegungsweise

zwangsläufig okkasionell und uneinheitlich ausfallen.

Die Vielheit in Inhalt und Vorm der Briefe und posthumen Veröffentlichungen

Nun hat Leibniz selbst vor solcherlei Untersuchungen gewarnt, als er

sagte: “... qui me non nisi editis novit, non novit”.4 Man wird also neben

seinen Publikationen zumindest seine brieflichen Äußerungen und, soweit

möglich, seine posthum erschienenen Werke einzubeziehen haben. Die be-

grenztere Öffentlichkeit der Briefe und insbesondere die von vielen Briefen

überlieferten Konzepte, die meist offener und aussagekräftiger sind als die

abgesandten Fassungen, lassen einen tieferen Einblick in die Werkstatt sei-

nes mathematischen Schaffens erwarten. Ebenso verfeinern die von C. I.

Gerhardt, L. Couturat u. a. herausgegebenen Textsammlungen aus dem

Nachlaß - die vielfach auf Handschriften basieren, die in einer Reinschrift

vorliegen und daher in aller Regel eine größere Reife als andere Texte auf-

weisen dürften - unser Wissen von der Leibnizschen Gedankenwelt.

Doch was auf dieser neuen Textgrundlage als erstes sichtbar wird, ist

eine abermalige Ausweitung der Themenvielfalt und der Darlegungsmetho-

den. Die geometrische Charakteristik, die ‘analysis situs’, die Determinan-

tentheorie, Gebiete, über die Leibniz fast nichts publiziert hatte, aber auch

Schriften zu den Grundelementen der Mathematik, zur mathematischen

Logik oder zur ‘mathesis generalis’ sind nicht nur im brieflichen Austausch

mit den Freunden häufig erwähnte Projekte; in den posthumen Editionen

finden sich sogar etliche vergleichsweise systematische Abhandlungen zu

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diesen Gebieten.5 Aber auch wenn in diesen Abhandlungen häufig auf De-

finitionen, Axiome, Propositionen und Demonstrationen zurückgegriffen

wird oder etliche die Form von sorgfältig ausgearbeiteten Dialogen haben:

von einem einheitlichen methodischen Vorgehen kann hier dennoch nicht

ernsthaft gesprochen werden. Je nach geplantem Verwendungszweck bzw.

intendiertem Adressatenkreis variieren Darlegungsformen und struktureller

Aufbau in vielfältiger Weise. Da zu Leibniz’ Lebzeiten außer der kombina-

torischen Jugendschrift De arte combinatoria von 1666 keine mathematische

Monographie erschien und auch bis heute lediglich ein halbes Dutzend mo-

nographisch ausgeformter mathematischer Texte, von denen vor allem De

quadratura arithmetica
, 1993, und Ein Dialog zur Einführung in die Arithme

tik und Algebra
, 1976, Erwähnung verdienen, ediert worden sind,6 kann

auch für diese Textgruppe die Annahme einer methodischen Einheitli-

chkeit nicht aufrechterhalten werden.

Die Vielheit in Inhalt und Vorm der nachgelassenen Schriften

Bleibt also die Hoffnung, daß uns die im Nachlaß schlummernden

Texte eine bisher verborgen gebliebene Einheit aufzeigen werden. Nun

sind aber Nachlaßwerke in aller Regel unfertige, wenig durchgeformte und

unredigierte Texte, die entweder nicht für die Öffentlichkeit bestimmt oder

gedanklich und sprachlich nicht so weit gediehen waren, daß sie der

Öffentlichkeit übergeben werden konnten. Bei Leibniz’ Nachlalß kommt er-

schwerend hinzu, daß er von einem geradezu unvorstellbaren Umfang ist,

da dieser Gelehrte die Gewohnheit hatte, fast jeden Notizzettel aufzube-

wahren. In Anbetracht dieser Papiermenge kann es nicht überraschen, daß

von seinem naturwissenschaftlichen Nachlaß nicht einmal die Hälfte katalo-

gisiert und erschlossen ist. Diese Unwägbarkeiten einmal vorausgesetzt, ist

es für mich nach einem Vierteljahrhundert täglichen Umgangs mit diesem

Handschriftenfundus dennoch unzweifelhaft, daß die mathematischen Ma-

nuskripte im Nachlaß eine zumindest ebenso große Vielfalt an Themen und

eine vergleichbar große Variationsbreite an methodischen Vorgehensweisen

enthalten, wie das bisher aus dem Nachlaß edierte mathematische Œuvre.

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Auch in seinen persönlichsten Aufzeichnungen hat Leibniz keine Konzep-

tion eines einheitlichen Gebäudes seiner mathematischen Errungenschaften

und keinen Entwurf einer einheitlichen Methode ihrer Herleitung hinterlas-

sen.7 Die ‘scientia infiniti’ ist nicht einmal in Teilen geschrieben worden,

die ‘analysis situs’ und die ‘characteristica universalis’ liegen lediglieli in

thematisch sehr begrenzten und methodisch variierenden Konzepten vor.

Seine Algebra und seine diophantische Arithmetik waren an den neuen

Aufgabenstellungen sachlich und methodisch weitgehend gescheitert. Vor

diesem Hintergrund ist auch im Opus posthumum von G. W. Leibniz

keine Einheit in Inhalt und Form zu erwarten.

Ein Abriß der Leihnizschen Erkenntnistheorie

Ist somit auf Einheit im mathematischen Schaffen des berühmten

Barockgelehrten endgültig zu verzichten? Haben seine grenzenlosen ma-

thematisch-naturwissenschaftlichen Interessen und Bemühungen zu einer

inhaltlich und formai rein additiven Wissensanhäufung in seinem Denken

und Schaffen geführt? Galt ihm letztlich Quantität und Priorität mehr als

Qualität und Perfektion? Während unsere bisherigen Darlegungen die Be-

jahung der ersten beiden Fragen nahelegen könnten, müssen bei der Beant-

wortung der dritten Frage Zweifel aufkommen: Hatte nicht gerade Leibniz

seine Entdeckungen auf dem Gebiet der Infinitesimalrechnung fast 10

Jahre lang zurückgehalten? Hatte er seine Kreisquadratur nicht - nach ei-

nem ersten Publikationsversuch - trotz Drängens seiner Freunde zur Seite

gelegt, weil sie seiner Meinung nach nicht mehr dem Stand der Forschung

entsprach? Hatte nicht der Nestor der Infinitesimalrechnung, um seine

grundlegende Schrift zur ‘scientia infiniti’ reicher und vollständiger werden

zu lassen, Jacob Bernoulli u. a. eingeladen, aktuelle Beiträge beizusteuern?

Wenn Leibniz also doch Qualität und Perfektion - trotz aller Vielseitigkeit

und Variabilität - am Herzen lagen, so muß seinem Erkenntnisstreben eine

Wertordnung zugrundegelegen haben, deren Kenntnis für die Beantwor-

tung der aufgeworfenen Fragen unerläßlich ist.

Das Wissen des Menschen ist nach Leibniz’ Überzeugung nicht Selbst-

zweck, sondern es dient dem “bien commun, qui n’est point different de la

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gloire de Dieu”.8 Da die menschlichen Erkenntnisvermögen im Gegensatz

zum göttlichen grundsätzlich begrenzt und weniger leistungsfähig sind, be-

dürfen sie methodischer Verfahren, um die kreatürlichen Unzulänglichkei-

ten so weit wie möglich zu kompensieren. Zu diesen Verfahren gehören

Analyse und Synthese,9 das Auffinden von Analogien10 sowie die Annahme

einer universalen Logik.11 Die Analyse von Begriffen und Gegenständen mit

dem Ziel, alle ihre Eigenschaften zu bestimmen, sowie die gegenläufige Syn-

these von Teilstücken zu einem größeren relativen Ganzen erhalten ihre

fundamentale Bedeutung durch die Leibnizsche Überzeugung, daß die Ver-

nunftwahrheiten analytische Urteile sind, während die kontingenten (zufäl-

ligen) Wahrheiten die Form synthetischer Urteile haben. Bei der Analyse

gilt es, letzte Grundeinheiten (primitive Elemente) zu finden, die Synthe-

se führt durch Kombination bereits bekannter Teilerkenntnisse zu einer

neuen, umfassenderen Erkenntnis. Die für die unvollkommenen menschli-

chen Erkenntnisvermögen typischen Analogien sind Vergleichbarkeiten ins-

besondere formaler und struktureller Art, wie sie am einfachsten in den

Proportionen geometrischer Größen zum Ausdruck kommen, wie sie aber

auch in der höheren Mathematik etwa bei der Bildung der n-ten Potenz ei-

nes Binoms bzw. bei der Bildung der n-ten Ableitung eines Produktes

zweier Funktionen augenfällig werden. Schließlich müssen alle menschli-

chen Erkenntnisse mittels einer durchgangigen Logik miteinander ver-

knüpft sein, einer Logik, die sowohl allem durch Gott Geschaffenen als

auch unserem Wissen von den geschaffenen Dingen zugrundeliegt. Erst die

Identität von Schöpfungslogik und Erkenntnislogik garantiert die Kompati-

bilität von Sein und Wissen.

Was folgt nun aus dieser Konzeption der Leibnizschen Erkenntnistheo-

rie für die Frage nach Einheit und Vielheit in seinem mathematischen

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Schaffen? Zunächst einmal offensichtlich nicht die Einheitlichkeit der ma-

thematischen Erkenntnisse oder gar ein einheitliches mathematisches System

(vergleichbar etwa dem Bourbaki-Projekt); denn über die charakteristi-

schen Eigenschaften der einzelnen Erkenntnisgegenstande und ihrer spezi-

fischen gegenseitigen Beziehungen läßt sich aus einer solchen Konzeption

nichts Definitives herleiten. Aber wohl auch nicht die Einheitlichkeit der

mathematischen Methode (vergleichbar etwa der Hilbertschen Axiomatik

in der Geometrie); denn Leibniz betont immer wieder “variare methodos

ad perfectionem scientiae pertinet, quia aliae Methodi aliis problematis sunt

aptiores, et quasi a natura assignatae”.12 Folglich kann eine möglicherweise

vorhandene Einheit nur auf einer höheren Reflexionsebene gesucht werden.

Der Begriff ‘Einheit’ hat zwei Grenzbedeutungen: eine als kleinstmögli-

che Einheit im Sinne von unteilbar oder letztgültig (Unum) und eine als al-

les umfassende Einheit im Sinne von vollständig oder vollkommen (Totum).

Daher scheint es so, als ob der Begriff ‘Einheit’ zwei entgegengesetzte

Dinge, nämlich das Individuale bzw. das Universale, bezeichne. Diese Be-

griffe sind aber nur Korrelata ein und derselben Relation: Ist das Ganze

mehr als die Summe seiner Teile, so bildet es eine individuelle Einheit; ist

das Individuum mehr als ein bloßes Teilstück eines größeren Ganzen, so

bildet es eine ganzheitliche Einheit. In Leibniz’ Metaphysik sind nun diese

Grenzbedeutungen leicht zuzuordnen: Die kleinstmögliche Einheit ist die

Substanz oder Monade; die alles umfassende Einheit ist die Schöpfung als

Reich der Gnade. Erkenntnistheoretisch formuliert, ist der Zielpunkt der

Analyse die substantielle, charakteristische Einheit und der für den Men-

schen nie erreichbare Endpunkt der Synthese die Welterkenntnis Gottes.

Die diesen Korrelata zugrundeliegende methodologische Relation ist die

Logik in der Leibnizschen Auffassung dieses Begriffs: “Unter der Logick

oder Denckkunst verstehe ich die Kunst den verstand zu gebrauchen, also

nicht allein was fürgestellet zu beurtheilen, sondern auch was verborgen zu

erfinden”.13 Diese Logik geht analysierend und synthetisierend ihrer Auf-

gabe der Erkenntnisgewinnung nach und bedient sich dabei der Gleichheit

(Prinzip der Identität und des ‘tertium non datur’) im Bereich der ‘ars judi-

candi’ und der Analogie (Prinzip der Kontinuität14) im Bereich der ‘ars in-

veniendi’. An dieser erkenntnistheoretisch-methodologischen Einheit von

Individualität und Totalität, von Analyse und Synthese, von Identitat und

Analogie sowie von ‘ars judicandi’ und ‘ars inveniendi’ müssen sich also

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Qualität und Perfektion auch von mathematisch-naturwissenschaftlichen

Erkenntnissen messen lassen; sie ist das einende und Vollkommenheit stif-

tende Band von Geometrie und Algebra.

Die Einheit von Analyse und Synthese mathematischer Gegenstände

Wie sieht nun diese methodologische Einheit der Leibnizschen

Erkenntnistheorie im Bereich der mathematischen Erkenntnisgewinnung

aus? Da ist zunächst die Einheit von Analyse und Synthese herauszustellen,

ein Begriffspaar, welches in der Mathematikgeschichte bisher eher konträre

Methoden gekennzeichnet hatte. Für die Analyse als Zergliederung bis in

die letzten Grundbegriffe bildeten die EuklidischenElementedas Para-

digma, für die Synthese zu einer Theorie aller geometrischen Kurven auf

der Basis der sie repräsentierenden algebraischen Gleichungen und ihrer

Schnittgebilde war im 17. Jahrhundert die Descartessche Geometria das al-

lseits anerkannte Vorbild. Leibniz versuchte nun beide methodischen An-

sätze miteinander zu verbinden und sowohl die Rückführung auf Grundele-

mente als auch die Zusammenfassung zu einer alle Möglichkeiten umfassen-

den Gesamtheit als notwendig aufeinander bezogene Verfahren hinzustel-

len. Dies wird besonders deutlich in der Gleichungslehre, wo er einerseits

bestrebt war, das Problem der algebraischen Gleichungen höheren Grades

auf bestimmte Lösungsformen (z. B. Cardanische) bzw. auf bestimmte

Gleichungsformen (Formentafeln) zurückzuführen, und andererseits die al-

gebraischen Gleichungen - als endliche Gleichungen mit einem bestimmten

Grad - einzuordnen in die Gesamtheit aller möglichen Gleichungen, zu de-

nen er auch die transzendenten Gleichungen zählte.15 Vergleichbares laßt

sich auch in der Integrationstheorie aufzeigen, wo Leibniz zum einen

glaubte, die Bestimmung aller unbestimmten Integrale auf die Quadratur

weniger Grundintegrale (z. B. des Kreises und der Hyperbel) reduzieren

zu können, und zum anderen ein allgemeines für alle Integrationsaufga-

ben gültiges Lösungsverfahren durch Potenzreihenansatz mit

unbestimmten Koeffizienten entwickelte. Daß er sich bewußt war, daß

die methodologische Einheit von Analyse und Synthese auch zwei Vor-

gehensweisen eint, die in der Mathematikgeschichte häufig genug Anlaß

zum Methodenstreit gegeben haben, zeigt das folgende Zitat: “Analysis

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enim duorum est generum, una per saltum, cum problema propositum re-

solvimus ad prima usque postulata; altera per gradus, cum problema propo-

situm reducimus ad aliud facilius”.16

Die Einheit von analogen Strukturen mathematischer Verfahren

Der Begriff ‘Analogie’ bezieht sich bei Leibniz manchmal auf Dinge,17

häufiger auf Größen oder geometrische Figuren. Von besonderer Wichtig-

keit ist die Analogie von Verhältnissen oder, wie wir heute sagen würden,

von Strukturen. Sowohl bei Größen und Figuren als auch bei Strukturen

spricht Leibniz von ‘Analogie’, wenn keine Gleichheit, sondern lediglich

Ähnlichkeit vorliegt: “analogia seu ipsarum similitudinum comparatio”18

Die wohl wichtigste Analogie in der Leibnizschen Mathematik ist die zwi-

schen den Verhältnissen bei beliebig kleinen Größen bzw. Figuren (insbe-

sondere beim charakteristischen Dreieck) und den Verhältnissen bei dazu

ähnlichen endlichen Größen bzw. Figuren. Diese Analogie von infinitesima-

len Strukturen und finiten Strukturen setzt ebenso eine durchgangige Ho-

mogenitat mathematischer Größen voraus wie die Analogie der Ordnungs-

struktur einer endlichen Reihe zur Ordnungstruktur der entsprechenden

ins Unendliche fortgesetzten Reihe. Aber auch endliche Iterationsstruktu-

ren weisen untereinander analoge Eigenschaften auf. Berühmtestes Beispiel

ist die Analogie von n-ter Binompotenz und n-ter Ableitung eines Produk-

tes, eine Analogie, die Leibniz sogar bis zu den gebrochenen Potenzen ver-

folgte. Die analogen Strukturen von iterativen Approximationsverfahren

(Picardsches Verfahren) gehören ebenfalls hierher. Als letzten Beleg für die

Analogie von Strukturen wollen wir das sog. Prinzip der Komplementarität

anführen, welches die Möglichkeit eröffnet, die Lösung eines Problems

(teilweise) im inversen Operationsbereich durchzuführen. Klassisches Bei-

spiel für ein solches Vorgehen ist das Wurzelziehen, welches durch Poten-

zieren von Zwischenergebnissen erreicht wird. Entsprechendes gilt für das

Logarithmieren.19 Leibniz übertrug dieses Verfahren auf das Integrieren

und auf das Lösen von Differentialgleichungen durch Lösungsansatze. Nur

am Rande sei erwähnt, daß insbesondere die Anwendung mathematischer

Methoden (z. B. der Infinitesimalrechnung) auf physikalische Probleme im-

252

plizit eine Analogie der Struktur physikalischer Gesetze zur mathemati-

schen Struktur voraussetzt.

Die Einheit von Logik und Erfindungskunst beim mathematischen Erkennt-

nisfortschritt

Wie oben dargelegt, fällt der Logik nach Leibniz nicht nur die Aufgabe

des Urteilens und Schließens auf der Grundlage vorgangiger Urteile und

Schlüsse zu, sondern auch die Verpflichtung, neue Entdeckungen zu ma-

chen. Für das Gebiet der Mathematik bedeutet dies, daß die Logik nicht

nur bereits bekannte oder vermutete Sätze beweisen oder widerlegen soli,

sondern sich aktiv an der Aufstellung neuer Satze und Theorien beteiligen

muß. Dies soli vor allem durch die Erfindung aussagekräftiger Symbole

oder Charaktere für die betreffenden mathematischen Gegenstände, durch

die Bereitstellung optimaler Verknüpfungen und Kalküle für solche

Charaktere sowie durch die Kombination bereits bekannter Teilerken-

ntnisse zu neuen Erkenntnissen geschehen. Leibniz bezeichnete diese Tätig-

keit der logischen Vernunft als ‘ars’ und brachte damit deutlich zum Aus-

druck, daß es sich dabei nicht um ein zwangsläufig erfolgreiches Vorgehen

handeln kann. Beispiele für gelungene Fortschritte sind, neben dem be-

rühmten Differentialkalkül und seinen Anwendungen in Geometrie und

Physik, die durch geschickte Indizierung erreichte Lösung linearer Glei-

chungssysteme mittels Determinanten und die Anfänge einer entalgebrai-

sierten Inzidenzgeometrie der Lage. Ebenso unübersehbar ist aber auch die

Begrenztheit der Erfolge dieser Einheit von deduktiver und induktiver Ver-

nunft. Bei den Diophantischen Gleichungen, bei vielen speziellen Kurven

oder in der numerischen Reihenlehre - um nur drei Beispiele zu nennen -

gelang es Leibniz nicht, allgemeine und allgemeingültige Lösungswege auf-

zuzeigen. Die Vielfältigkeit und Disparatheit dieser mathematischen Gegen-

stände war zu groß, die notwendigen neuen Gesichtspunkte und Betra-

chtungsweisen lagen zu weit von den bisherigen Vorgehensweisen entfernt,

als daß die methodologische Einheit von ‘ars judicandi’ und ‘ars inveniendi’

allein ausgereicht hätte, um zum Ziel zu kommen. Hier waren grundlegend

neue mathematische Theorien erforderlich, nicht geschickte Kombination

und Fortschreibung von Bekanntem. Abschließend ist somit festzustellen,

daß trotz aller methodologischen Einheitlichkeit der mathematischen Er-

kenntnisgewinnung die charakteristische Vielheit möglicher mathematischer

Gegenstände und Strukturen nicht ausreichend erfaßt wird. Eine ‘reductio

ad calculum’ ist nicht einmal innerhalb der Mathematik uneingeschränkt

und rein rational durchführbar, viel weniger noch ist dies in den angewand-

253

ten Naturwissenschaften möglich. Eine optimale Kompensation der Unzu-

länglichkeiten menschlicher Erkenntniskraft war auf dem von Leibniz vor-

geschlagenen Weg nicht erreichbar.

Kategoriales Denken und Relativität

“Harmonia autem est unitas in multitudine...”, sagt Leibniz in einer

Aufzeichnung20 von 1677, und einige Jahre später erläutert er:21 “Nun die

einigkeit in der vielheit ist nichts anders als die übereinstimmung, und weil

eines zu diesem naher stimmet als zu jenem, so fliesset daraus die ordnung,

von welcher alle schöhnheit hehrkom...”.Die Einheit in der Vielheit ist

also eine akzidentelle Einheit, die sich von der substantiellen Einheit der

Monaden grundlegend unterscheidet. Sie ist eine Ordnung der Dinge oder

der Gedanken, die nicht notwendig, nicht einzigartig und nicht ewig ist

und doch vom Menschen als hilfreich und angenehm angesehen wird.22 Sie

wird konstituiert durch den Vergleich von Objekten mittels der Sinne und

des Verstandes und ist daher auf der Ebene der Vergleichsobjekte immer

relational. Auf der Metaebene aber ist sie relativ, denn jede spezielle Or-

dnungsstruktur ist wieder eine Einheit in bezug auf die Vielheit möglicher

struktureller Gliederungen ähnlich wie jede Monade Teil eines Aggregats

von Monaden mit einer Zentralmonade sein kann.23 Für Leibniz waren sol-

che Einheiten allerdings zugleich metaphysische und damit ontologische

Einheiten, für uns Heutige sind sie zumindest methodische Hilfmittel, die

aus den klassischen korrelativen Denkkategorien Einheit und Vielheit

fließen. Als Regulative sind sie grundsätzlich von nur relativer Bedeutung,

d. h. was als Einheit und was als Vielheit anzusehen ist, bestimmt sich rela-

tiv zur Reflexionsebene bzw. zu den Bezugsgrößen. Dies sei an einem Teil-

gebiet der Mathematik verdeutlicht. Die Gesamtheit aller Zahlen besteht

254

aus ineinander geschachtelten Teilbereichen, die jeweils als Einheit oder

Äquivalenzklasse angesehen werden können: das Einselement, die natürli-

chen Zahlen, die rationalen Zahlen, die algebraischen Zahlen usw. Entspre-

chend kann die Gesamtheit aller Zahlen als Vielheit, bestehend aus den ge-

nannten Einheiten und ihren durch die Forderung nach uneingeschränkter

Ausführbarkeit mathematischer Verknüpfungen bedingten Erweiterungen,

betrachtet werden.

Die Korrelata Einheit und Vielheit und die Relativität der daraus resul-

tierenden Einteilungen sind für die menschliche Denk- und Anschauungs-

weise keinesfalls untypisch oder singulär. Vergleichbare methodische Hilfs-

mittel bilden auch die Korrelata Ursache und Wirkung oder Notwendig-

keit und Zufälligkeit. Für Leibniz jedoch waren alle diese Denkkategorien

nicht unabhängig von Seinskategorien; die durch die Denkkategorien cha-

rakterisierten Gliederungen beschrieben zugleich eine ontologische Stru-

ktur, deren absolute Grenzbegriffe die Monade einerseits und die von Gott

geschaffene Welt andererseits waren.

BIBLIOGRAPHIE

Echeverría, J., Characteristica geometrica. Paris 1979 [Masch.]. Teile daraus mit franz.

Übersetzung in: G. W. Leibniz, la caractéristique géométrique , hrsg. von J. Echever-

ría u. M. Parmentier. Paris 1995.

Heß, H.-J., Maturing in retirement. The unknown period of Leihnizian calculus between

Paris and publication (1676-1684)
, in: Giornate di storia della matematica, Cetraro

(Cosenza) Settembre 1988 247-288.

Leibniz, G. W., Dissertatio de arte combinatoria. Leipzig 1666 (A VI.l, 163-230).

Leibniz, G. W., Schediasma de arte inveniendi theoremata , 7. September 1674 (A VI.3,

421-426).

Leibniz, G. W., De vita beata , Frühj.-Herbst 1676 (A VI.3, 633-673).

Leibniz, G. W., Characteristica verbalis , um 1680 (C, 432-435).

Leibniz, G. W., De synthesi et analysi universali seu arte inveniendi et judicandi,1680-

1684 (GP VII, 292-298).

Leibniz, G. W., Nova methodus pro maximis et minimis, in: Acta eruditorum, Oktober

1684, S. 466-473.

Leibniz, G. W., Quadratura arithmetica communis sectionum conicarum , in: Acta erudito-

rum
, April 1691, S. 178-182.

Leibniz, G. W., Supplementum geometriae practicae, in: Acta eruditorum, April 1693, S.

178-180.

255

Leibniz, G. W.,Nova calculi differentialis applicatio et usus , in: Acta eruditorum , Juli

1694, S. 311-316.

Leibniz, G. W., Considerations sur la différence qu’il y a à observer entre l’analyse ordi-

naire et le nouveau calcul des transcendantes , in: Journal des Scavans, 23 Aoust

1694, S. 404-406.

Leibniz, G. W. [Von der Weisheitl] um 1694 (GP VII, 86-90).

Leibniz, G. W., Nova algebrae promotio, um 1694 (GM VII, 154-189).

Leibniz, G. W., Mathesis universalis, um 1694 (GM VII, 49-76).

Leibniz, G. W., De rerum originatone radicali, 3. Dezember 1697 (GP VII, 302-308).

Leibniz, G. W., Specimen novum analyseos pro scientia infiniti, circa summas et quadra-

turas,
in: Acta eruditorum, Mai 1702, S. 210-219.

Leibniz, G. W., Continuatio analyseos quadraturarum rationalium, in: Acta eruditorum ,

Januar 1703, S. 19-26.

Leibniz, G. W., Essais de Théodicée sur la bonté de Dieu, la liberté de l’homme et l’ori-

gine du mal
. Amsterdam 1710 u. ö. (GP VI, 21-365).

Leibniz, G. W., In Euclidis Prota , um 1711 (GM V, 183-211).

Leibniz, G. W., Principes de la nature et de la grace , 1714 (GP VI, 598-606).

Leibniz, G. W., Specimen geometriae luciferae, um 1714 (GM VII, 260-299).

Leibniz, G. W., Opera omnia , hrsg. von L. Dutens. 6 Bde. Genf 1768. Reprint Hilde-

sheim 1989 (Dutens).

Leibniz, G. W., Mathematische Schriften , hrsg. von C. I. Gerhardt. 7 Bde. Berlin-Halle

1849-1863. Reprint Hildesheim 1962 u. ö. (GM).

Leibniz, G. W., Die philosophischen Schriften , hrsg. von C. I. Gerhardt. 7 Bde. Berlin

1875-1890. Reprint Hildesheim 1961-1962 u. ö. (GP).

Leibniz, G. W., Der Briefwechsel mit Mathematikern , hrsg. von C. I. Gerhardt. Berlin

1899. Reprint Hildesheim 1962 u. ö. (GB).

Leibniz, G. W., Opuscules et fragments inédits , hrsg. von L. Couturat. Paris 1903. Re-

print Hildesheim 1961 u. ö. (C).

Leibniz, G. W., Sämtliche Schriften und Briefe, hrsg. von der (ehemals Preußischen,

dann Deutschen) Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 7 Reihen. Darmstadt-

Leipzig-Berlin 1923 ff. (A).

Leibniz, G. W., Ein Dialog zur Einführung in die Arithmetik und Algebra , hrsg. von E.

Knobloch. Stuttgart-Bad Cannstadt [1976].

Leibniz, G. W., De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae, hrsg. von E.

Knobloch. Göttingen 1993.

Knobloch, E., Die mathematischen Studiën von G. W. Leibniz zur Kombinatorik. Text-

band (= Studia Leibnitiana, SupplementaXVI). Wiesbaden 1976.

Knobloch, E., Übersicht über die unveröffentlichten mathematischen Arbeiten von Leib-

niz (1672-1676)
, in: Leibniz à Paris (1672-1676), Symposion à Chantilly November

1976
(= Studia Leibnitiana, Supplementa XVII). Wiesbaden 1978, S. 3-43.

Knobloch, E., Der Beginn der Determinantentheorie. Leibnizens nachgelassene Studiën

zum Determinantenkalkül
. Textband. Hildesheim 1980.

256

Münzenmayer, H. P., Der Calculus Situs und die Grundlagen der Geometrie bei Leibniz,

München 1978 [Diss.].

Pasini, E., La nozione di infinitesimo in Leibniz: tra matematica e metafisica.

1985-1986 [Masch.].

Zacher, H. J., Die Hauptschriften zur Dyadik von G. W. Leibniz. Ein Beitrag zur

Geschichte des binären Zahlensystems
(= Veröffentlichungen des Leibniz-Archivs 5).

Frankfurt am Main 1973.

1.
Vgl. die Abhandlung Considerations sur la différence qu’il y a à observer entre l’analyse or-

dinaire et le nouveau calcul des transcendantes
,Aug. 1694.
2.
Leibniz an L’Hospital, 8. Mai 1693 (GM II, 238).
3.
Relativ systematisch sind die Abhandlungen Nova methodus pro maximis et minimis , Okt.

1684, Quadratura arithmetica communis sectionum conicarum, Apr. 1691, Supplementum geome-

trie practicae
, Apr. 1693, Nova calculi differentialis applicatio et usus, Jul. 1694, sowie die beiden

Beiträge zur ‘scientia infiniti’ Specimen novum analyseos, Mai 1702, und Continuatio analyseos

quadraturarum
, Jan. 1703.
4.
Leibniz an Placcius, 2. Marz 1696 (Dutens VI. 1, 65).
5.
Hier nur einige Beispiele: Nova algebrae promotio, um 1694; Mathesis universalis, um

1694; In Euclidis Prota , um 1711; Specimen geometriae luciferae , um 1714.
6.
Hier sind neben den genannten vor allem E. Knobloch, Die mathematischen Studien... zur

Kombinatorik
, 1976; H. J. Zacher, Die Hauptschriften zur Dyadik, 1973; J. Echeverría, Characteri-

stica geometrica
,1979; H. P. Münzenmayer, Der Calculus Situs und die Grundlagen der Geometrie,

1978; E. Knobloch, Der Beginn der Determinantentheorie, 1980; E. Pasini,La nozione di infinite-

simo,
1985-1986, anzuführen.
7.
Übersichten über den mathematischen Nachlaß gibt es leider nur für die Pariser und die

ersten hannoverschen Jahre; vgl. E. Knobloch, Übersicht über die unveröffentlichten mathemati-

schen Arbeiten von Leibniz (1672-1676),
1978, bzw. H.-J. Heß, Maturing in retirement. The un-

known period of Leibnizian calculus between Paris and publication (1676-1684),
1991.
8.
GP VI, 27.
9.
Vgl. die grundlegende Abhandlung De synthesi et analysi universali seu arte inveniendi et

judicandi
aus der Zeit 1680-1684 (GP VII, 292-298).
10.
Der Begriff ‘Analogie’ ist bei Leibniz von einer beinahe unbegrenzten Variabilität und, so-

weit uns bekannt, nirgendwo exakt definiert. Einziges Kriterium der Verwendung ist die

Vergleichbarkeit, unter der Prämisse, daß keine Gleichheit vorliegt. Dabei kann das ‘tertium com-

parationis’ fast beliebig gewählt werden: inhaltlich, formai, strukturell etc. Sehr häufig vorkom-

mende Analogien sind bei Leibniz corps (substance ) und esprit (âme), choses sensibles und choses

insensibles
sowie plantes und animaux.
11.
“Et vero reapse in Mundo deprehendimus omnia fieri secundum leges aeternarum verita-

tum non tantum Geometricas sed et Metaphysicas, id est non tantum secundum necessitates mate-

riales, sed et secundum rationes formales; idque verum est non tantum generaliter in ea quam

nunc explicavimus ratione Mundi existentis potius quam non existentis, et sic potius quam aliter

existentis..., sed etiam ad specialia descendendo videmus mirabili ratione in tota natura habere lo-

cum leges metaphysicas causae, potentiae, actionis...” (GP VII, 305).
12.
Leibniz für die Acta eruditorum , 17. Oktober 1684 (A III.4, 180).
13.
Leibniz an Gabriel Wagner, Ende 1696 (GP VII, 516).
14.
“Analogia autem in eo fundatur, ut quae in multis conveniunt aut opposita sunt, ea in da-

tis quoque vicinis ad priora convenire aut opposita esse suspicemur” (A VI.3, 425 f.).
15.
Die Gleichungen teilte Leibniz in algebraische mit der Untergliederung in rationale (dio-

phantische) bzw. irrationale Gleichungen einerseits und transzendente mit der Untergliederung in

endliche bzw. unendliche Gleichungen andererseits. Die endlichen transzendenten Gleichungen

wiederum wurden in Exponentialgleichungen und Differential- bzw. Integralgleichungen unter-

teilt; die unendlichen Gleichungen waren Potenzreihen.
16.
Leibniz an Huygens für Fatio de Duillier, 5. Oktober 1691 (GB, 677).
17.
“II faut s’accoustumer aux analogies, sçavoir deux ou plusieurs choses fort differentes

estant données, trouver leur ressemblances” (A VI.3, 673).
18.
C, 434.
19.
Genaugenommen tritt der Wechsel in den Komplementärbereich schon bei der Division

(von Termen) auf.
20.
Randnoten von G. W. Leibniz zum Brief A. Eckhard an Leibniz, Ende Mai/Anfang Juni

1677 (GP I, 232).
21.
GP VII, 87.
22.
“Je demeure d’accord, qu’il y a des degrés de l’unité accidentelle, qu’une societé reglée a

plus d’unité qu’une cohue confuse et qu’un corps organisé ou bien une machine a plus d’unité

qu’une societé, c’est à dire il est plus à propos de les concevoir comme une seule chose, parcequ'il

y a plus de rapports entre les ingrediens; mais enfin toutes ces unités ne reçoivent leur accomplis-

sement que des pensées et apparences, comme les couleurs et les autres phenomenes, qu’on ne

laisse pas d’appeller reels” (Leibniz an Arnauld, 10. Mai 1687; GP II, 100).
23.
“... chaque substance simple ou Monade distinguée, qui fait le centre d’une substance

composée (comme par exemple, d’un animal) et le principe de son Unicité, est environnée d’une

Masse composée par une infinité d’autres Monades, qui constituent le corps propre de cette Mo-

nade centrale, suivant les affections duquel elle represente, comme dans une maniere de centre,

les choses qui sont hors d’elle” (GP VI, 598 f.).


Heinz-Jürgen Heß . :

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