DAS KONTINUUM BEI LEIBNIZ
Herbert Breger
DAS KONTINUUM BEI LEIBNIZ



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Wenn man das Unendliche in seiner Funktion für das Leibnizsche Denken

mit einem kurzen Schlagwort charakterisieren möchte, dann kann man es mit

der dialektischen Methode und ihrer Funktion für die Philosophie Hegels ver-

gleichen. Innerhalb des Leibnizschen Gedankengebäudes ist das Unendliche so

etwas wie die Treppen, wodurch die verschiedenen, scheinbar heterogenen

Teile miteinander verbunden und in Zusammenhang gebracht werden. In den

Nouveaux Essais bezeichnet es Leibniz als die “maxime fondamentale”1 seiner

Philosophie, daß der Grund der Dinge überall derselbe ist, während “les

manieres et les degrés de perfection varient à l’infini”. Die unbekannten Din-

ge werden nach dem Vorbild und als Variation der bekannten Dinge gedacht.

Der Begriff des Unendlichen erlaubt, heterogene Qualitäten als unterschiedli-

che Ausprägungen derselben Grundprinzipien zu verstehen. So wird die äu-

ßerste Sparsamkeit der Erklärungsprinzipien mit der verschwenderischen Fülle

der erklärten Dinge vereinbart, und das scheinbar Unbegreifliche wird als

unendlicher Grenzfall des Begreiflichen eingeordnet. In aller Kürze möchte

ich dazu einige Beispiele anführen.

Da ist zunächst das in der Tradition vieldiskutierte Problem von ars und

natura. Nach einem alten Grundsatz verstehen wir im eigentlichen Sinne nur

das, was wir selbst herstellen können. Die ars bietet also keine grundsätzlichen

Verständnisschwierigkeiten, und Leibniz hat das mechanistische Programm

der Naturerklärung uneingeschränkt übernommen2. Die Grenzen dieses Pro-

gramms werden aber beispielsweise am Vergleich von belebter und unbelebter

Materie deutlich. Das auf Einheitlichkeit der Erklärungsprinzipien abzielende

mechanistische Programm wird nun durch den Begriff des Unendlichen mit

der Einsicht in die Grenzen des Programms verbunden: Das wahre und zu

wenig beachtete Unterscheidungskriterium zwischen Natur und Kunst ist, “ut

quaevis machina naturalis... organis constet prorsus infinitis”3. Eben darin



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erweisen sich die Naturobjekte als Produkte der unendlichen Weisheit und

Macht Gottes. Der Unterschied zwischen der göttlichen Maschine, der Natur,

und den menschlichen Maschinen ist unendlich, das heißt sowohl qualitativ

als auch bloß quantitativ.

Das zweite Beispiel ist die Beziehung von notwendigen und zufälligen

Wahrheiten und im Zusammenhang damit das Labyrinth der Freiheit4. Der

Begriff des Unendlichen ermöglicht es Leibniz, einerseits an der analytischen

Theorie der Wahrheit (und damit an der grundsätzlichen Gleichartigkeit aller

Wahrheiten) festzuhalten und andererseits die Existenz nicht-notwendiger

Wahrheiten (und damit die grundsätzliche Verschiedenheit notwendiger und

zufälliger Wahrheiten) zu behaupten.

Das dritte Beispiel ist die Individualität, die das Unendliche einschließt;

das Prinzip der Individuation einer Sache kann nur der begreifen, der das

Unendliche begreifen kann5. Das Unendliche ermöglicht es hier, auf der

einen Seite an der absoluten Einmaligkeit der Phänomene festzuhalten und

auf der anderen Seite dennoch generalisierende Gesetzesaussagen über das

Geschehen im Bereich der Phänomene zu machen, das heißt Physik zu trei-

ben.

In diesen drei Beispielen tritt das Unendliche in seiner einfachsten Form

auf, nämlich als Unendlichkeit der natürlichen Zahlen. Die geschilderte Funk-

tion des Unendlichen – nämlich Heterogenes als aus einem einheitlichen

Grundprinzip erzeugt zu denken – kommt dem Kontinuum, einer erheblich

komplizierteren Form des Unendlichen, in noch höherem Maße zu. Das Kon-

tinuum ist wohl die wichtigste Form, in der das Unendliche bei Leibniz auf-

tritt. Dabei ist nicht wie in der heutigen Mathematik an eine Menge von

Punkten, sondern an ein anschauliches Kontinuum geometrischer Größen zu

denken. Das Kontinuitätsprinzip besagt, daß das Kontinuum ein universales

Schema des Denkens und der Erkenntnis ist, demzufolge Heterogenes, ja sogar

Widersprüchliches, in gewisser Hinsicht homogenisiert und aus einem einheit-

lichen Prinzip erzeugt werden kann. So kann die Ruhe als eine unendlichklei-

ne Bewegung und die Gleichheit als eine unendlichkleine Ungleichheit ver-

standen werden6; allgemein kann das Ausgeschlossene in einem gewissen

Sinne als ein Eingeschlossenes behandelt werden7. Das Krumme kann in

gewisser Weise als eine Art des Geradlinigen behandelt werden; die Kurve



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kann betrachtet werden, als sei sie ein Polygon, d. h. das für das Polygon

Bewiesene gilt auch für die Kurve (cum grano salis natürlich). Ganz offensicht-

lich hat also das Kontinuitätsprinzip einen gewissen paradoxen Charakter, den

es mit der Dialektik im Sinne Hegels teilt. Dieses Paradoxe ist kein statischer

logischer Widerspruch, sondern ein treibendes, dynamisches Moment, das die

Vielfalt der Dinge mit einer Ökonomie des Denkens vereinigt. Es ist beein-

druckend zu sehen, wie Leibniz auf der einen Seite das Kontinuitätsprinzip

souverän und mit außerordentlicher Fruchtbarkeit handhabt und auf der ande-

ren Seite offenbare Schwierigkeiten mit dessen paradoxen Charakter hat: Die

analytische Theorie der Wahrheit, derzufolge das Kontinuitätsprinzip sich

schließlich in Definitionen und logische Identitäten auflösen lassen muß, und

das Kontinuitätsprinzip stehen in einem offenbaren Spannungsverhältnis.

Soweit ich sehe, hat sich Leibniz mit diesem Problem nur gelegentlich

und sozusagen en passant beschäftigt. In der Aufzeichnung Initia rerum mathemati-

carum metaphysica
wird davon gesprochen, daß ein Genus (Bewegung, Ungleich-

heit, Kurve) in einer entgegengesetzten Quasi-Species (Ruhe, Gleichheit, Poly-

gon) auslaufe8. Die eigentliche Aussage des Kontinuitätsprinzips liegt also

nicht nur in dem Postulat, daß eine kontinuierliche Verbindung existiere, son-

dern auch darin, daß von zwei entgegengesetzten Begriffen der eine als Genus,

der andere als Quasi-Species interpretiert wird. Leibniz fährt an der erwähnten

Stelle mit folgendem Hinweis auf die apagogische Methode des Archimedes

fort: “Et hic pertinet illa ratiocinatio quam Geometrae dudum admirati sunt,

qua ex eo quod quid ponitur esse, directe probatur id non esse, vel contra, vel

qua quod velut species assumitur, oppositum seu disparatum reperitur. Idque

continui Privilegium est;” (“Und hierauf bezieht sich jene Argumentation,

über die sich die Mathematiker seit langem wundern, nämlich daß aus der

Annahme, daß etwas sei, direkt bewiesen wird, es sei nicht, oder umgekehrt,

beziehungsweise es wird etwas als eine Species angenommen und dann ein

Entgegengesetztes oder ein Widerspruch gefunden. Und das ist das Sonder-

recht des Kontinuums;”). Hier wird also dem Kontinuum so etwas wie eine

dialektische Hervorbringungskraft zugeschrieben (im Sinne der formalen Logik

könnte man sagen: A impliziert Nicht-A). Mit der gleichen Problematik

befaßt sich Leibniz in einem Brief an Christian Wolff, der 1713 in den Acta

Eruditorum
veröffentlicht wurde. In einer kontinuierlichen Anordnung ist der

letzte Fall, auch wenn er von völlig verschiedener Natur ist, im allgemeinen

Gesetz der übrigen Fälle enthalten. Anders gesagt, “paradoxa quadam ratione”

oder auch “Figura Philosophico-rhetorica” kann der Spezialfall als im allgemeinen

Fall enthaltene entgegengesetzte Verschiedenheit verstanden werden. Man



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gelangt so zu Aussagen (wie: Punkt als unendlichkleine oder verschwindende

Linie), die Joachim Jungius “toleranter vera9 genannt hat. Solche Aussagen sind

sehr nützlich zur ars inveniendi, wenngleich sie “aliquid fictionis et imaginarii”

enthalten; da die Reduktion solcher Aussagen auf übliche Ausdrücke leicht

sei, könne aber kein Fehler unterlaufen. Mir will freilich scheinen, daß die

Reduktion der Aussage “Die Gleichheit ist eine unendlichkleine Ungleich-

heit” auf Definitionen und logische Identitäten durchaus nicht unproblema-

tisch ist, die analytische Wahrheitstheorie hier folglich vor einer Aporie

steht10.

Die beschriebene Funktion des Kontinuitätsprinzips, das qualitativ Ver-

schiedenartige so zu betrachten, als sei es homogen, steht im geistesgeschichtli-

chen Zusammenhang des mechanistischen Denkens, das sich die Reduktion

der Qualitäten zum Ziel gesetzt hatte, und insbesondere des Begriffs der Bewe-

gung. Ein interessantes Beispiel für die Rolle des Bewegungsbegriffs in der

Mathematik des 17. Jahrhunderts ist das Rektifikationsproblem, d.h. das Pro-

blem, eine gerade Linie zu finden, die ebenso lang ist wie eine gegebene Kur-

ve. Seit Aristoteles hatten das Gerade und das Krumme als zwei verschiedene

Qualitäten gegolten, für die es kein gemeinsames Maß geben kann11. Das

Rektifikationsproblem ist demnach mathematisch unlösbar; noch Descartes

war in der Géométrie dieser Ansicht12. Torricelli und Roberval leiteten mit Hil-

fe des Bewegungsbegriffes eine Wende in dieser Frage ein. Wenn man auf

einer geraden und einer krummen Linie je einen Punkt mit gleicher Ge-

schwindigkeit laufen läßt, wenn beide Punkte im selben Augenblick starten

und gleichzeitig ihre Bewegung beenden, dann ist es für mechanistisches Den-

ken eine überzeugende Folgerung, daß die zurückgelegten Wege gleich lang

sind. Auf diesem Grundgedanken basieren die Beweise von Torricelli und

Roberval zur Lösung von Rektifikationsproblemen13. Nachdem so der Durch-

bruch gelungen war, gelang es später auch, die Beweise ohne den (unmathe-

matischen) Bewegungsbegriff zu führen. Es gibt zahlreiche Beispiele dafür, daß

der Bewegungsbegriff in der Mathematik des 17. Jahrhunderts Pionierleistun-

gen ermöglicht hat: Nepers Definition des Logarithmus, Tangentenbestim-

mungen von Torricelli und Roberval sowie Newtons Fluxionsmethode sind



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nur einige davon14. In allen diesen Fällen übernahm der Bewegungsbegriff

Aufgaben, die später von der Theorie des Kontinuums übernommen wurden.

Die mathematische Behandelbarkeit mechanischer Bewegungen – sei es

durch die Hereinnahme des Bewegungsbegriffs in die Mathematik, sei es

durch eine Theorie des Kontinuums – war selbstverständlich eine entschei-

dende Voraussetzung für die Anwendbarkeit von Mathematik auf die Physik.

In diesen Anwendungen treten fast immer transzendente Ausdrücke auf, die

in der cartesischen Mathematik unzulässig waren und die erst Leibniz in die

Mathematik eingeführt hat15. Erst durch die Einführung des Transzendenten

wurde das Kontinuum zum mathematisch legitimen Objekt; bei Euklid und

Descartes waren nur die konstruierbaren Punkte mathematisch zulässig gewe-

sen. Transzendente Ausdrücke wurden in vielen Fällen durch eine unendliche

Reihe (zum Beispiel einen unendlichen Dezimalbruch) gegeben. Leibniz be-

zeichnet die Differential- und Integralrechnung häufig als “Analyse des transcen-

dantes”; sie sei derjenige Teil der allgemeinen Mathematik, der das Un-

endliche behandelt. Die “Analyse des transcendantes” sei besonders wichtig

für die Anwendungen in der Physik, “parce que le caractère de l’Auteur infini

entre ordinairement dans les opérations de la nature”16. Das Unendliche in

der Differentialrechnung korrespondiert in diesem Sinne mit jenem Unendli-

chen, das (wie oben erwähnt) das charakteristische Kennzeichen der Natur

ist.

Obgleich das Kontinuum von entscheidender Bedeutung für die Naturer-

kenntnis ist, muß dennoch das Mißverständnis abgewehrt werden, als sei das

Kontinuum etwas real Existierendes. Nach Leibniz gibt es weder im Bereich

der Monaden noch im Bereich der Phänomene ein Kontinuum. Die Materie

ist aktual unendlich geteilt, bildet also kein Kontinuum; Raum und Zeit sind

nur Ordnungen von Phänomenen und nichts selbständig Existierendes. Das

Kontinuum ist etwas Ideales; es bezieht sich auf Mögliches. Auf reale Phäno-

mene bezieht es sich nur insofern, als es sich dabei um mögliche Phänomene

handelt. Im Briefwechsel mit de Volder legt Leibniz diesen Sachverhalt dar17.

Die Teile in einem Kontinuum sind nämlich – wie schon Aristoteles gezeigt18 hatte –

unbestimmt. Im Bereich der realen Phänomene gibt es aber nichts

Unbestimmtes, dort ist jede mögliche Teilung bereits vollzogen. Die realen



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Phänomene setzen sich aus ihren Teilen zusammen wie eine ganze Zahl aus

Einsen; im Kontinuum gibt es aber zunächst nur der Möglichkeit nach Teile,

ebenso wie es unendlich viele Möglichkeiten gibt, die Zahl 1 als Summe zwei-

er Brüche zusammenzusetzen. Die Verwechslung des Realen mit dem Idealen

würde zu unauflösbaren Widersprüchen führen. Die “scientia continuorum

hoc est possibilium” enthält also ewige Wahrheiten, die von den realen Phä-

nomenen niemals verletzt weiden, weil der Unterschied stets kleiner als jede

angebbare Größe ist19.

Die soeben skizzierte Theorie des Kontinuums ist übrigens ein von Leib-

niz oft hervorgehobener Differenzpunkt zu Newton und zu Descartes20. Nach

Newton existieren Raum und Zeit wirklich, nach Descartes ist die Ausdeh-

nung eine Substanz. In beiden Fällen ist das Kontinuum also etwas Reales.

Etwas Reales, das Teile hat, muß aber auch aus diesen Teilen bestehen. Folg-

lich werden die bekannten Antinomien des Kontinuums für Newton und Des-

cartes unvermeidbar. Da die Raumlehre für Newton und die Substanzlehre für

Descartes zentral sind und da Leibniz’ Differentialrechnung wesentlich auf der

Theorie des Kontinuums basiert, handelt es sich hier um einen entscheiden-

den Streitpunkt.

Ich möchte damit meine Ausführungen zur Funktion des Kontinuums bei

Leibniz beenden und mich nun der Entwicklungsgeschichte des Kontinuums bei

Leibniz zuwenden. Er hat in seinen jungen Jahren eine ganze Reihe von

tastenden Versuchen unternommen, sich über die Struktur des Kontinuums

klar zu werden. Erst allmählich und in verschiedenen Schritten ist er zu der

Theorie vorgedrungen, an der er dann zeit seines Lebens festgehalten hat.

Diese Entwicklung21 ist so komplex, daß ich mich hier mit der Skizzierung

einiger weniger Stationen begnügen muß.

Unter Bezugnahme auf zeitgenössische Diskussionen (Fromond, Descar-

tes, Thomas White, Hobbes etc.) sieht Leibniz in der Theoria motus abstracti vom

Winter 1670/71 die Schwierigkeiten um das Labyrinth des Kontinuums als

entscheidende Grundlagenprobleme der Wissenschaften22. Er versucht diese

Schwierigkeiten durch Thesen zu lösen, die in klarem Widerspruch zu seiner

reifen Theorie des Kontinuums stehen23. Er postuliert die Existenz von aktual

unendlich vielen Teilen in einem Kontinuum. Es gibt nichts in einem Konti-

nuum, was keinen Teil hätte, aber es gibt Indivisiblen, die als unausgedehnt



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definiert werden. Die Existenz von Indivisiblen wird daraus gefolgert, daß

sich ohne sie der Anfang einer Bewegung nicht denken ließe (einige Zeilen

weiter tritt denn auch der Hobbessche Begriff des conatus auf). Der Punkt wird

in bewußtem Gegensatz zu Euklid als etwas definiert, was keine Ausdehnung

hat oder dessen Teile keine Entfernung haben oder deren Entfernung kleiner

als jede angebbare Größe ist. Leibniz ist hier noch vorbehaltloser Anhänger

der Cavalierischen Indivisiblen-Methode. Seine mathematischen Kenntnisse

sind noch gering; so definiert er in einer Aufzeichnung aus der zweiten Hälfte

1671 das Kontinuum als ein Ganzes, das die Eigenschaft hat, daß sich zwi-

schen je zwei Teilen weitere Teile befinden24. In der Terminologie der

modernen Mathematik wird damit nur die Dichtheit definiert; auch die ratio-

nalen Zahlen liegen dicht, bilden aber keineswegs ein Kontinuum25.

Etwa ein Jahr später hat Leibniz jedoch bereits wichtige Fortschritte

gemacht. Im Herbst 1672 trifft er zum ersten Mal mit Christiaan Huygens

zusammen, der ihn auf Wallis’ Arithmetica infinitorum und das Opus geometricum

des Grégoire de St. Vincent hinweist. In dieser Zeit exzerpiert Leibniz Galileis

Beweis, daß es ebenso viele natürliche Zahlen wie Quadratzahlen gebe. Galilei

hatte daraus gefolgert (ebenso wie Grégoire de St. Vincent im Zusammenhang

mit dem Kontingenzwinkel), daß im Unendlichen das Ganze nicht größer sei

als die Teile. Leibniz widerspricht dem; er entwickelt hier die (für sein ganzes

weiteres Leben gültige) Auffassung, daß das Unendliche kein Ganzes, keine

Einheit sei26. Ebenfalls aus dieser Zeit (Herbst 1672 – Winter 1672/73)

stammt eine Aufzeichnung27, in der Leibniz die Existenz von Indivisiblen

mathematisch zu widerlegen versucht. Die Diagonale eines Quadrats muß

ebenso viele Indivisiblen haben wie eine Seite, denn jeder Punkt der Diagona-

le läßt sich (durch Fällen eines Lots) mit je einem Punkt der Seite verbinden.

Andererseits ist die Diagonale länger als die Seite und muß daher mehr Indi-

visiblen haben. Also führen Indivisiblen in Widersprüche. Für den mathemati-

schen Fachmann der Zeit bot der Beweis nichts Neues; er ist nur als Entwick-

lungsschritt des Leibnizschen Denkens bemerkenswert. Die Kritik an der Indi-

visiblen-Theorie ist eine Kritik am Aktual-Unendlichen in der Mathematik:

Weder ist das Kontinuum aus aktual-unendlich vielen Punkten zusammenge-

setzt noch darf die unendliche Teilbarkeit des Kontinuums mit einer faktisch



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schon vollzogenen unendlichen Geteiltheit verwechselt werden. Dieser Zu-

sammenhang wird dadurch unterstrichen, daß Leibniz in derselben Aufzeich-

nung die Galileische Überlegung von der Gleichmächtigkeit der natürlichen

Zahlen und der Quadratzahlen wieder aufnimmt und daraus folgert, daß es

keine unendliche Zahl (d. h. kein Unendliches als Ganzheit) geben könne.

Eine unendliche Zahl müßte nämlich einem echten Teile ihrer selbst gleich

sein, und das ist unmöglich. Mehr noch: Eine unendliche Zahl ist ein Nichts,

ist gleichbedeutend mit der Null28.

Soweit könnte es scheinen, als sei Leibniz nun wieder auf Descartes’ Posi-

tion, daß sich über das Unendliche nichts Gewisses sagen lasse, angelangt.

Doch das ist nicht der Fall. Dieselbe Überlegung, mit der Leibniz in der Theo-

ria motus abstracti
die Existenz von Indivisiblen bewiesen hatte, benutzt er

nun29, um die Existenz von Infinitesimalien zu beweisen: Es muß Infinitesi-

malien geben, weil sich sonst der Anfang einer Bewegung nicht denken ließe.

Diese frühen Infinitesimalien sind Punkte, jedoch Punkte von verschiedener

Größe; ein Punkt kann unendlich kleiner sein als ein anderer Punkt. Ein

Punkt kann als eine Linie von beliebig kleiner Länge aufgefaßt werden. Der

begriffliche Fortschritt, den Leibniz in dieser Aufzeichnung vom Herbst 1672

oder Winter 1672/73 erzielt, besteht darin, daß das Kontinuum ansatzweise

dynamisch aufgefaßt wird. Nach der Indivisiblentheorie besteht das Kontinu-

um aus aktual-unendlich vielen unveränderlichen Bausteinen; wegen des stati-

schen Charakters dieser Theorie fällt es nicht schwer, Paradoxien zu konstruie-

ren. Mit dem Begriff der Infinitesimalie wird dagegen ansatzweise versucht,

das Fließende des Kontinuums wiederzugeben. Die starre Trennung zwischen

Ausgedehntem und Unausgedehntem wird aufgegeben, die Infinitesimalien

liegen gewissermaßen auf der Grenze zwischen Ausgedehntem und Unausge-

dehntem; sie bezeichnen den Anfang einer Bewegung oder den Anfang eines

ausgedehnten Körpers und bilden insofern ein fließend-dynamisches Mo-

ment.

In den folgenden Jahren befaßt sich Leibniz immer wieder in neuen

Ansätzen mit diesen Fragen. Dabei werden auch Fragen, die bereits im Sinne

der reifen Theorie beantwortet worden sind (wie die Nicht-Existenz unendli-

cher Zahlen), wieder aufgeworfen und erneut untersucht30. In anderer Hin-



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sicht werden erkennbare Fortschritte in Richtung auf die reife Theorie erzielt;

so gibt Leibniz zum Beispiel die These, daß es unterschiedlich große Punkte

gibt, bald wieder auf. Auch die Frage nach dem Verhältnis zwischen der ma-

thematischen Theorie des Kontinuums und der physikalischen Theorie der

Bewegung wird in verschiedenen Ansätzen der Pariser Jahre unterschiedlich

gedeutet. Auf all diese Fragen möchte ich hier nicht eingehen, sondern statt-

dessen einen Sprung in das Jahr 1676, das Ende des Pariser Aufenthalts,

machen. In der Aufzeichnung Pacidius Philalethi (29. Oktober – 10. November

1676) wird die reife Theorie des Kontinuums formuliert, die Leibniz seitdem

nur immer wiederholt hat: Das Kontinuum ist durch die Möglichkeit beliebi-

ger Teilbarkeit charakterisiert; es setzt sich nicht aus Punkten zusammen, viel-

mehr entstehen Punkte erst dadurch, daß Teilungen vorgenommen werden.

Niemals geschehen alle Teilungen, die möglich sind. Es gibt keine bestimmte

Zahl für die Anzahl der in einem Kontinuum angebbaren Punkte31. Ganz

offensichtlich erinnert diese Theorie des Kontinuums stark an Gedanken, die

im 20. Jahrhundert von Intuitionisten und Konstruktivisten entwickelt wor-

den sind32.

In der erwähnten Aufzeichnung vom Herbst 1672 oder Winter 1672/73

hatte Leibniz die Existenz von Infinitesimalien bewiesen. Später schien ihm

dieser Beweis nicht überzeugend; in einer Aufzeichnung aus dem Februar

1676 wirft er erneut die Frage auf, ob sich die Existenz von infinitesimalen

Größen beweisen lasse33. In der Aufzeichnung Pacidius Philalethi ist von einem

solchen Beweis keine Rede mehr: die infinitesimalen Größen dürfen in der

Geometrie verwendet werden “inventionis causa, licet essent imaginaria”34.

Offen ließ Leibniz dabei die Frage, ob die infinitesimalen Größen in der

Natur vorhanden sind (wie denn überhaupt die in Pacidius Philalethi entwickelte

Theorie der physikalischen Bewegung von der reifen Theorie der Bewegung

abweicht). Später war für Leibniz klar, daß es Infinitesimalien nur in der Mathe-

matik (also nur im Reich des Idealen) gibt und auch dort nur als Fiktio-

nen35.

Zur Abrundung der Ausführungen über die Entwicklungsgeschichte der

Leibnizschen Gedanken zum Kontinuum möchte ich noch auf ein Problem



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eingehen, das Leibniz am Schluß einer unveröffentlichten Aufzeichnung aus

dem Jahre 1673 aufgeworfen hat. Im Zusammenhang mit Erörterungen über

unendliche Reihen und infinitesimale Größen stellt Leibniz die Frage, “an

non rectius dicetur non esse aequalia, sed differentiae quavis data minoris”36

Um ein Beispiel zu nehmen: Ist die Fläche eines Viertelkreises vom Radius 1

gleich

1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - +...

oder gibt es einen Unterschied, der nur eben kleiner als jede angebbare Größe

ist? Auf den ersten Blick scheint diese Frage unverständlich oder gar sinnlos.

Da die Differenz zwischen zwei Zahlen (Flächeninhalt und Wert der Reihe)

wieder eine Zahl ist und da diese Zahl kleiner als jede angebbare Größe ist,

muß diese Zahl also Null sein (jedenfalls vom Standpunkt der heutigen Stan-

dard-Mathematik). Diese Überlegung hat jedoch zur Voraussetzung, daß es für

den Flächeninhalt eine Zahl gibt. Weil diese Voraussetzung nicht selbstver-

ständlich ist, ist Leibniz’ Frage durchaus sinnvoll. James Gregory war 1668 in

seiner berühmten Schrift Vera circuli et hyperbolae quadratura davon ausgegangen,

daß es keine Zahl für das Verhältnis von Kreisfläche und Radiusquadrat gibt,

und auch John Wallis hatte dieses Verhältnis als “numerus ille impossibilis”

bezeichnet37. Wenn es nun für einen bestimmten Flächeninhalt keine Zahl

gibt, weil das Zahlensystem (wie in der cartesischen Mathematik) an dieser

Stelle ein Loch hat, dann läßt sich der Flächeninhalt eben nicht exakt berech-

nen, sondern nur approximieren derart, daß der Unterschied zum wahren

Wert kleiner als jede angebbare Größe ist. In moderner Terminologie handelt

es sich hier um das Problem, daß der Raum der algebraischen Zahlen nicht

vollständig ist und folglich nicht alle Cauchy-Folgen in diesem Raum konver-

gieren. Erst durch die Einführung des Transzendenten hat Leibniz dieses Pro-

blem gelöst38.

Die gleiche Frage hat Leibniz drei Jahre später in einer Aufzeichnung

vom 26. März 1676 aufgeworfen, – mit dem geringen Unterschied, daß er statt

“kleiner als jede angebbare Größe” “unendlich klein” sagt39. Die Frage lautet

dann, ob bei einer Quadratur der berechnete Wert und der wahre Wert gleich

sind oder ob es einen unendlichkleinen Unterschied gibt. In dieser Formulie-

rung läuft die Frage also darauf hinaus, ob das Kontinuitätsprinzip (Gleichheit



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als unendlichkleine Ungleichheit) gültig ist. In der Tat entsteht ja erst durch

die Einführung des Transzendenten ein Kontinuum; ohne das Transzendente

wäre das Kontinuitätsprinzip in der Mathematik ungültig.

Zum Abschluß möchte ich noch kurz die Frage erörtern, ob es das Aktual-

Unendliche
in der Leibnizschen Mathematik gibt. Leibniz hat sich sehr ent-

schieden für das Aktual-Unendliche in der Metaphysik ausgesprochen40, doch

ist damit die Frage für die Mathematik noch nicht beantwortet. Der Leibniz-

sche Begriff des Aktual-Unendlichen ist ein anderer Begriff als der Begriff des

Aktual-Unendlichen in der Grundlagendiskussion der Mathematik des 20.

Jahrhunderts. Das Aktual-Unendlich der Leibnizschen Metaphysik ist kein

Ganzes und keine Einheit, es ist lediglich die aktual existierende Vielheit von

mehr Dingen als sich mit irgendeiner Zahl angeben läßt41. Eine Ausnahme

(die einzige) bildet natürlich Gott: er ist sowohl aktualunendlich als auch eine

Ganzheit. Insofern ist also auch das von Leibniz in der Metaphysik akzeptierte

Aktual-Unendliche kein Aktual-Unendliches im Sinne der Cantorschen Ma-

thematik.

Wie bestimmt nun Leibniz das Unendliche in der Mathematik? In der

Mathematik befinden wir uns nach Leibniz ohnehin nur im Bereich des Idea-

len und des Möglichen. Das mathematische Unendliche kann als unendliche

Vielheit oder als unendliche Größe auftreten. Die unendliche Vielheit bildet

kein Ganzes, sie stellt lediglich eine Vielheit dar, die größer ist als sich mit

irgendeiner Zahl angeben läßt. Ebenso ist die unendliche Größe (zum Beispiel

einer geraden Linie) lediglich eine Größe, die größer als jede angebbare Grö-

ße ist42. Auch in den Nouveaux Essais hat Leibniz die Unendlichkeit einer

geraden Linie potentialistisch bestimmt, nämlich als Möglichkeit, jede endli-

che gerade Linie zu verlängern43. In diesem Sinne hat Christian Wolff in sei-

nem Mathematischen Lexicon unter Berufung auf Euklid die unendliche Linie

als eine beliebig verlängerbare Linie definiert44. Weder die unendliche Viel-

heit noch die unendliche Größe bilden ein Ganzes oder eine Einheit45. Für

das mathematische Aktual-Unendliche ist aber gerade charakteristisch, daß

unendlich viele Objekte nicht nur potentiell oder nacheinander, sondern

gleichzeitig und als Gesamtheit gegeben sind und erfaßt werden können. Ein

Cantorsches Aktual-Unendlich – das heißt ein Unendliches, das ein Ganzes ist

und dennoch gleichmächtig mit einem echten Teil – bezeichnet Leibniz aus-



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drücklich als etwas Absurdes46. Erstaunlicherweise wird in der Sekundärlitera-

tur dennoch immer wieder die Behauptung wiederholt, es gebe eine Ähnlich-

keit zwischen Leibniz und Cantor47.

Im Briefwechsel mit Johann Bernoulli führt Leibniz aus, was unter einer

unendlichen Reihe zu verstehen sei. Wenn man davon spricht, daß unendlich

viele Glieder der Reihe gegeben sind, dann ist nicht gemeint, daß eine feste

Anzahl gegeben ist, sondern daß es mehr Glieder gibt, als jede feste Anzahl

angibt48. Leibniz will die unendlichen Reihen also potentialistisch verstanden

wissen. Daraus folgt insbesondere, daß unendliche Dezimalbrüche potentiali-

stisch aufzufassen sind. Die von Foucher de Careil veröffentlichte Aufzeich-

nung De libertate49 bestätigt dies. In dieser Aufzeichnung vergleicht Leibniz das

Kontinuum mit den notwendigen und zufälligen Wahrheiten. Dabei entspre-

chen die notwendigen Wahrheiten den rationalen Zahlen und die zufälligen

Wahrheiten den irrationalen Zahlen. Wie sich die notwendigen Wahrheiten in

endlich vielen Schritten beweisen lassen, so lassen sich die rationalen Zahlen

in endlich vielen Schritten berechnen. Der Beweis einer zufälligen Wahrheit

oder die Berechnung einer irrationalen Zahl bedürfte aber einer unendlichen

Analyse. Der springende Punkt ist nun, daß der Beweis einer zufälligen Wahr-

heit nie vollendet werden kann; Leibniz betont ausdrücklich, daß selbst für

Gott der Beweis einer zufälligen Wahrheit unmöglich ist (wenngleich Gott

eine solche Wahrheit “infallibili visione” erkennen kann). Offenbar steht für

Leibniz außer Frage, daß die Berechnung eines unendlichen Dezimalbruchs

nie als vollendet gedacht werden kann, – anderenfalls wäre der Vergleich zwi-

schen den Zahlen des Kontinuums und den Wahrheiten sinnlos.

In einem Brief an Varignon aus dem Jahre 1702 bemerkt Leibniz, “que

l’infini pris ä la rigueur doit avoir sa source dans l’intermine”50. Diese Bemer-

kung zeigt, daß die von Leibniz in der Pariser Zeit häufig erörterten Begriffe

“infinitum interminatum” und “infinitum terminatum”51 auch in seinem spä-

teren Denken eine Rolle spielen. Ein infinitum terminatum ist ein begrenztes

Unendlich; Leibniz nennt als Beispiel eine gerade Linie mit einem letzten



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Punkt im Unendlichen52. Leibniz scheint schon in der Pariser Zeit Zweifel an

der mathematischen Brauchbarkeit eines infinitum terminatum gehabt zu ha-

ben53; später scheint er das infinitum terminatum für die Mathematik abgelehnt

zu haben54. Ob der Gegensatz von infinitum terminatum und infinitum interminatum

etwas mit dem Gegensatz von potentiellem und aktualem Unendlich zu tun

hat, braucht hier nicht entschieden zu werden55.

Eine Reihe von Formulierungen deuten darauf hin, daß Leibniz verschie-

dene Stufen des Unendlichen angenommen hat. Es ist zu prüfen, ob dies die

Behauptung stützt, daß Leibniz das Aktual-Unendliche in der Mathematik ver-

wendet habe. Äußerungen aus der Frühzeit56 sind dabei natürlich ohne

Beweiskraft für die Ansicht des reifen Leibniz. Aber noch 1679 schreibt er in

einem Brief57, daß

1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +...

eine “quantitas infinita” ist, die unendlich kleiner ist als

1 + 1 + 1 + 1 +...

Mehr noch: Er setzt den erstgenannten Ausdruck gleich B und rechnet dann

mit 1+B (= Summe der harmonischen Reihe) weiter58. Hier muß allerdings

beachtet werden, daß Leibniz in einer nach 1691 entstandenen Aufzeich-

nung59 ausdrücklich sagt, daß man die Summe der harmonischen Reihe nicht

als eine “vera quantitas infinita” ansehen dürfe. Aber es bleibt doch die Frage,

was er 1679 mit “quantitas infinita” gemeint hat. Jedenfalls gewiß keine

unendliche Zahl, denn eine solche hat er schon seit seiner Pariser Zeit abge-

lehnt. Vielmehr spricht er an der zitierten Stelle von 1679 von “quantitas infi-

nita, major scilicet quovis numero assignabili”. Im Zusammenhang mit den



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bereits erwähnten Bemerkungen von Leibniz zum Unendlichen liegt es daher

nahe, die “quantitas infinita” potentialistisch zu deuten. Diese Vermutung

wird durch eine weitere Überlegung gestützt: Wenn die Summe der harmoni-

schen Reihe größer als jede angebbare Zahl (also größer als jede endliche Par-

tialsumme von 1 + 1 + 1 + 1 +...) ist, wie kann Leibniz dann 1679 behaupten, die

Summe der harmonischen Reihe sei unendlich kleiner als die Summe der

unendlichen Reihe 1 + 1 + 1 + 1 +...? Dies scheint nur dann einen Sinn zu

geben, wenn die beiden quantitates infinitae eben nicht als statische unendliche

Größen, sondern als Ausdruck für die unterschiedliche Wachstumsgeschwin-

digkeit der beiden unendlichen Reihen zu verstehen sind. In diesem Zusam-

menhang ist interessant, daß Detlef Laugwitz – zusammen mit Schmieden der

Erfinder der NichtStandard-Analysis60 – in seinem neuesten Buch61 darauf

hingewiesen hat, daß die von ihm vertretene Version der Nichtstandard-

Analysis zwanglos ohne das Aktualunendlich interpretiert werden kann (ob-

wohl es in dieser Theorie verschieden große unendliche Zahlen gibt).

An der zitierten Stelle aus dem Jahre 1679 hatte Leibniz noch unbefangen

1/0 für Unendlich geschrieben. In einer unveröffentlichten Aufzeichnung, die

mehr als 20 Jahre später entstanden ist, lehnt er diese Ausdrucksweise ab; man

dürfe das Unendliche lediglich als Kehrwert einer unendlichkleinen Größe

(also als 1/dx) schreiben62. In einem Brief an Grandi aus dem Jahre 1713

nennt Leibniz ein solches Unendlich eine “quantitas infinita modificata”63.

Da es ja Differentiale verschiedener Ordnung gibt, gibt es folglich wiederum

verschiedene Stufen des Unendlichen. Ob die “quantitas infinita modificata”

ein Aktualunendlich ist, hängt offensichtlich davon ab, wie die unendlichklei-

nen Größen zu interpretieren sind. In dem Brief an Grandi bezeichnet Leibniz

die unendlichkleine Größe als verschwindende Größe oder als eine Größe “in

statum annihilationis”, wobei der Akkusativ die Bewegung und das Prozeßhaf-

te noch betont. Immer wieder umschreibt er die unendlichkleinen Größen als



67

Größen, die kleiner als jede angebbare Größe gewählt werden können, oder

als Größen im Zustand des Verschwindens64. Dies drückt sowohl den poten-

tialistischen Charakter der unendlichkleinen Größen als auch ihren fließenden

Charakter aus. Die Infinitesimalien haben keinen festen Wert, sondern sind

am ehesten mit Variablen zu vergleichen65. Die unendlichkleinen Größen

sind bekanntlich Fiktionen, das heißt, ihnen kommt keine selbständige Bedeu-

tung zu; sie sind nur Hilfsmittel, um das Fließende des Kontinuums in einen

Kalkül zu übersetzen. Sie würden diesen dynamischen Charakter verlieren,

wenn man sie als aktual unendlichklein interpretierte.

Es zeigt sich also, daß sich die Äußerungen des reifen Leibniz zum ma-

thematischen Unendlich stimmig und widerspruchsfrei miteinander vereinba-

ren lassen. Ein Aktualunendlich gibt es in der Leibnizschen Mathematik nicht.

Das Unendlichgroße und das Unendlichkleine sind nur Fiktionen oder abge-

kürzte Sprechweisen (“per modum loquendi compendiosum”)66. Gemeint ist

damit so etwas wie eine Variable. Wenn man auf die abgekürzte Sprechweise

verzichtet, muß man das Unendliche potentialistisch bestimmen67.

‘ GM V, S. 385.
Notes
1.
A VI, 6, S. 490.
2.
GP IV, S. 210-211; GP VII, S. 265.
3.
GP IV, S. 505, S. 396; GP VI, S. 618; A VI, 6, S. 329.
4.
GP VII, S. 200; G. W. Leibniz, Nouvelles lettres et opuscules inédits, éd. Foucher de Careil,

Paris 1857, S. 178-185.
5.
A VI, 6, S. 289-290.
6.
GM VI, S. 130; GM VII, S. 25; GP VI, S. 321.
7.
GM V, S. 385.
8.
GM VII, S. 25.
9.
GM V, S. 385.
10.
Leibniz denkt offenbar daran, daß eine Reduktion mit Hilfe der apagogischen Methode

möglich sei.
11.
Aristoteles, Physikvorlesung, Buch VII, Kapitel 4; A. G. Kaestner, Geschichte der Mathe-

matik
, Bd. 1, Hildesheim-New York 1970, S. 498.
12.
R. Descartes, Oeuvres, éd. Adam-Tannery, Bd. 6, S. 412.
13.
H. G. Zeuthen, Geschichte der Mathematik im 16. und 17. Jahrhundert, New York-Stuttgart

1966, S. 340.
14.
Zeuthen, aaO., S. 134, S. 320-323.
15.
H. Breger, Leibniz’ Einführung des Transzendenten, in: “Studia Leibnitiana”, Sonderheft 14

(= 300 Jahre Nova Methodus von Leibniz), 1986.
16.
GM V, S. 308.
17.
GP II, S. 282. Vgl. außerdem GP III, S. 612, S. 622-623; GP IV, S. 394; GP II, S. 379;

GM IV, S. 93.
18.
Aristoteles, Physikvorlesung, Buch VI.
19.
GP II, S. 282-283.
20.
GP II, S. 278-279; GP III, S. 612, S. 622-623.
21.
Vgl. dazu auch den Aufsatz von E. Knobloch in diesem Band.
22.
A VI, 2, S. 262.
23.
A VI, 2, S. 264-265.
24.
A VI, 2, S. 307.
25.
Später war Leibniz sich dieses Unterschieds bewußt, vgl. GM VII, S. 287.
26.
A VI, 3, S. 168. Zur Wichtigkeit des Axioms vom Ganzen und Teil für Leibniz vgl.

auch J. E. Hofmann, Leibniz in Paris 1672-1676, Cambridge 1974, S. 12-14 und A III, 1, S.

11-19.
27.
A VI, 3, S. 97-101. Das Argument gegen die Existenz von Indivisiblen findet sich auch

A VI, 3, S. 469.
28.
A VI, 3, S. 98, S. 168; A III, 1, S. 2, S. 11. Zur Begründung könnte man wie folgt

argumentieren: Da die unendliche Zahl x einem echten Teil gleich sein müßte, folgt x = q x,

wobei q größer als Null und kleiner als Eins ist. Daraus folgt (1-q) x = 0 und x = 0. Äußerun-

gen des reifen Leibniz zur Unmöglichkeit unendlicher Zahlen sind u. a. GP II, S. 305; GM III,

S. 535.
29.
A VI, 3, S. 98-99.
30.
A VI, 3, S. 477, S. 495-504.
31.
A VI, 3, S. 552-553, S. 555. Vgl. zum Beispiel auch GP II, S. 279.
32.
H. Breger, Leibniz, Weyl und das Kontinuum, in: “Studia Leibnitiana Supplementa”, Bd.

26 (= Beiträge zur Wirkungs- und Rezeptionsgeschichte von Leibniz), 1986, S. 316-330.
33.
A VI, 3, S. 475.
34.
A VI, 3, S. 564.
35.
Das Unendlichkleine tritt bei Leibniz auch im Zusammenhang mit dem conatus auf,

aber auch in diesem Fall handelt es sich um einen mathematischen Begriff (vgl. GM VI, S. 234,

S. 238).
36.
LH XXXV, XII, 2, Bl. 164 v°.
37.
J. Wallis,Opera Mathematica, Oxford 1695, S. 359.
38.
H. Breger, Leibniz’ Einführung des Transzendenten, aaO.
39.
A VI, 3, S. 434 (auch gedruckt in GM V, S. 217-218).
40.
GP I, S. 416.
41.
GP II, S. 304-305; GM III, S. 535.
42.
GP II, S. 304.
43.
A VI, 6, S. 158 und GP III, S. 659.
44.
Ch. Wolff, Gesammelte Werke, I. Abteilung, Bd. 11, Hildesheim 1965, Spalte 743.
45.
GM III, S. 535; GM IV, S. 575; GP II, S. 304-305.
46.
GM III, S. 535.
47.
Vgl. z. B. M. Osterheld-Koepke, Der Ursprung der Mathematik aus der Monadologie, Frank-

furt/Main 1984.
48.
GM III, S. 566.
49.
G. W. Leibniz, Nouvelles lettres et opuscules inédits, aaO.; vgl. auch die ähnliche Stelle GP

VII, S. 200, wo ausdrücklich gesagt wird, daß die irrationalen Zahlen als series interminata aufzu-

fassen sind.
50.
GM IV, S. 91.
51.
Die Kenntnis dieser beiden Begriffe verdanke ich E. Knobloch, auf dessen Aufsatz in

diesem Band ich ausdrücklich verweisen möchte.
52.
A VI, 3, S. 281, S. 471, S. 485.
53.
Vgl. den Aufsatz von Knobloch in diesem Band sowie A VI, 3, S. 489.
54.
GM IV, S. 91 sowie die Debatte mit Johann Bernoulli um die Existenz eines letzten

Gliedes einer unendlichen Reihe (GM III, S. 566).
55.
Auf den ersten Blick scheint es, als müsse ein infinitum terminatum stets ein aktuales

Unendlich sein. Die Sache ist jedoch komplizierter; nach D. Laugwitz, Zahlen und Kontinuum,

Darmstadt 1986, S. 237-239 läßt sich vermuten, daß auch ein infinitum terminatum potentialistisch

verstanden werden könnte.
56.
A VI, 1, S. 229. Leibniz stützt sich hier auf G. Cardano, Opera, Bd. IV, Lyon 1663,

S. 195.
57.
A II, 1, S. 486.
58.
A II, 1, S. 494.
59.
LH XXXV, VII, 10, Bl. 8 v°. Die Datierung ergibt sich aus der Erwähnung der Ber-

noullischen Spirale.
60.
Merkwürdigerweise wird die Priorität von Schmieden/Laugwitz oft übersehen. Die

Veröffentlichungsdaten und der Inhalt der Arbeit von Schmieden/Laugwitz lassen aber keinen

Zweifel: C. Schmieden / D. Laugwitz, Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung, “Mathematische

Zeitschrift”, LXIX (1958), S. 1-39; A. Robinson, Non-Standard Analysis, Amsterdam 1966.
61.
D. Laugwitz, Zahlen und Kontinuum, aaO. S. 237-239. Mit diesem Argument ist freilich

nicht gemeint, die Leibnizsche Theorie stimme mit der Nichtstandard-Analysis überein. Aber

die Nichtstandard-Analysis hilft, die Scheuklappen der Mathematik des 19. Jahrhunderts zu

überwinden und insofern historische Theorien besser zu verstehen.
62.
LH XXXV, VIII, 21, Bl. 2 r°.
63.
GM IV, S. 218.
64.
GP VI, S. 90.
65.
GM IV, S. 92; H. J. M. Bos, Differentials, Higher-Order Differentials and the Derivative in the

Leibnizian Calculus
, “Archive for the History of Exact Sciences”, XIV (1974), S. 17.
66.
GP II, S. 305.
67.
GM IV, S. 93; GP II, S. 304, S. 305.


Herbert Breger . Date:

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