SOUS LE JOUR DE LA MATHÉMATIQUE NON-STANDARD DE L’INFINI
Victor Gomez Pin
SOUS LE JOUR DE LA MATHÉMATIQUE NON-STANDARD DE L’INFINI


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De nos jours les mathématiciens eux-mêmes ne res-

sentent point la nécessité de l’infini et en fait ne s’en ser-

vent point, mais seulement d’une quantité aussi grande

qu’on le souhaite.

(Aristote, Physique III 7 207 b 27-32)

L’histoire des efforts pour atteindre un concept de l’infini au sein même

de la catégorie de quantité1 trouve chez Leibniz un point culminant, sans que

cependant (ceci a été rappelé à plusieurs reprises dans ce colloque) l’on puisse

dire que la cause de l’infini categorématique2 sorte grandie de la réflexion de

cet auteur. Pour ce qui est de l’infiniment grand la sentence serait claire dans

les mots si souvent évoqués de Théophile:

Il n’y a point de nombre infini ni de ligne ou autre quantité infinie si on

les prend pour des Touts véritables...

Et un peu plus loin (après avoir rappelé que l’École s’en tient avec raison

à l’infini syncatégorématique):

...l’infini véritable n’est pas une modification, c’est l’absolu; au contraire

dès qu’on modifie on se borne ou forme un fini.3

En ce qui concerne l’infiniment petit on pourrait évoquer des textes de



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1701 («Journal de Trévoux»), de 1706 (lettre à des Bosses) ou de 1716, qui

paraissent aussi bien définitifs dans le sens d’un rejet4.

De telle manière que le moment leibnizien de l’histoire de la pensée ne

supposerait aucune subversion dans la catégorie qui soutient cette modalité de

rigueur qui caractérise le travail mathématique, la rigueur qui est exactitude.

Un ordre de la quantité strictement respectueux du caractère archimédéen5

continuerait à frapper d’illégitimité tout discours se soutenant dans l’infini:

Ego philosophice loquendo non magis statuo magnitudines infinite par-

vas quam infinite magnas, seu non magis infinitesimas quam infinituplas.6

Georg Cantor cite ce texte de Leibniz dans un travail de 18837 particu-

lièrement expressif de la conscience que l’auteur a de la révolution, aussi bien

mathématique qu’ontologique, que sa théorie des nombres entiers transfinis est

en train d’accomplir. Et nous parlons de subversion aussi bien mathématique

qu’ontologique du fait que la grandeur est d’après Aristote l’un des modes de

distribution de la copule, l’être, considérée comme matrice d’articulation du

jugement. D’où suit que toute modification dans l’ordre quantitatif soit modifi-

cation dans l’ordre tout court.

Or ces Grundlagen nous montrent par exemple que le concept de nombre

(Zahlbegriff) ne comportant tant qu’il s’agit du fini qu’une signification dans



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laquelle le compte ou numéral (Anzahl) coïncide avec la puissance (Mächtig-

keit
)8, vient à se scinder (sich spaltet...) dès lors que l’on arrive à l’infini en

deux concepts (zwei Begriffe), la puissance restant immuable mais le compte chan-

geant selon l’ordonnation à laquelle l’ensemble possédant cette puissance est

soumis.9

Qu’il suffise, pour saisir l’importance de cette scission de rappeler l’une

de ses conséquences, à savoir que des notes inconciliables (unvereinbare Merkma-

le
) dans un nombre fini, se trouvent sans contradiction jointes dans un seul et

même nombre infini... alors même que, d’un autre point de vue, ni l’une ni

l’autre ne sauraient être affirmées.

C’est ainsi que le transfini à cardinalité aleph zéro et ordinalité w présente

aussi bien des épiphanies paires que des épiphanies impaires, tout en rejetant

l’un et l’autre de ces caractères.10

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Le nombre ω nous rend ainsi un écho de cet un qui est du Parménide sup-

portant aussi bien des raisons allant dans le sens de toutes les affirmations que

de toutes les exclusions11. L’évocation donc dans ce contexte (Grundlagen allge-

meiner Mannigfaltigkeitslehre
) de la sentence négative de Leibniz prend l’air d’un

défi: «Pas plus, philosophiquement parlant des quantités infiniment grandes

que des quantités infiniment petites...».

Et pourtant... le penseur de Hanovre serait bien obligé, après la con-

struction cantorienne, de reconnaître du moins l’actualité de l’infini de gran-

deur!

En fait Cantor perçoit des hésitations dans la pensée de Leibniz, comme

si l’intuition de celui-ci se trouvait confrontée à une pluralité de phénomènes

mathématiques irréductibles au modèle configurateur de nos représentations

de la quantité. Dès lors, même en absence d’un modèle cohérent lui permet-

tant de franchir clairement le pas qui conduit à l’affirmation de l’infini, la



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tentation de celui-ci12 se présenterait dans certains textes. Cantor cite celui

bien connu de la lettre à Foucher du 3 août 1693. Ce texte, d’après l’avis auto-

risé des participants à notre colloque, ne témoignerait point d’une prise de

parti en ce qui concerne l’actualité de l’infini mathématique. Le texte n’est en

tout cas évoqué par Cantor que pour servir la cause des transfinis, comme s’il

ne concernait pas l’autre modalité d’infini, celle dont la forclusion dans l’his-

toire de la mathématique et de la philosophie se poursuit bien au-delà de

l’oeuvre de Cantor, malgré celle-ci ou peut-être grâce à celle-ci.13

Et ce n’est point que la question n’effleure pas Cantor. Au paragraphe 4

(p. 172 et ss) du texte, après avoir rappelé la transcendance et fertilité du

concept de bonne ordonnation pour ce qui est de la nouvelle architecture

numérique, les Grundlagen viennent à poser la question suivante:

Puisque l’on est parvenu à élargir le concept de nombre réel à des nom-

bres infinis, ne pourrait-on avec succès analogue (mit gleichem Erfolge) parvenir à

définir des nombres finis lesquels ne coïncideraient pas (nicht zusammenfallen)

avec les nombres rationnels ou irrationnels connus, mais qui seraient encastrés

(einfügen) dans ceux-ci, comme les nombres irrationnels le sont dans la chaîne

(in die Kette) des rationnels ou comme les nombres transcendants le sont dans

la structure (in das Gefüge) des algébraïques?14



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La réponse est connue: elle va dans le sens d’un rejet, rejet aux consé-

quences (encore aussi bien mathématiques qu’ontologiques) énormes.

Soulignant d’abord que l’infini impropre (das Uneigentlich-unendlich, c’est-à-dire

la variable grandissant ou s’aménuisant au delà de toute limite)15 est de façon

injuste qualifié par certains philosophes de mauvais (schlechtes), et en précisant

que, bien au contraire, il constitue un instrument tout à fait fertile dans les

mathématiques et les sciences de la nature, il affirme explicitement que cet

infini impropre c’est l’unique forme dans laquelle l’infiniment petit à réussi à

être rempli d’un contenu, celui qui procurent l’analyse infinitésimale et la théorie des

fonctions
16.

Par contre tous les efforts (Versuche) visant artificieusement à faire de cet

infini du devenir un infini proprement dit doivent être rejetés puisque man-

quent, tout compte fait, de sens et d’utilité17.

Une précision toutefois: si jamais des quantités infiniment petites vien-

nent à l’existence (c’est-à-dire si l’on réussit à les définir) celles-ci n’auraient

aucune connexion immédiate avec celles qui supportent l’analyse, à savoir l’in-

finiment petit qui devient.18

Affaire donc entendue, ce chapitre 4 des Grundlagen passe à d’autres consi-

dérations19. Et bien! Tout novateur, ou même subversif, qu’il soit par ailleurs

Cantor s’inscrit ici dans une belle et confortable tradition.

Car l’Histoire du Calculus paraît d’emblée coïncider avec le processus de



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substitution d’une position mathématico-philosophique qui privilégie les infi-

nitésimaux par une position qui met en avance les notions d’approximation et de

limite. Deux phrases de D’Alembert citées par Robinson (et appartenant res-

pectivement aux articles Différentiel et Limite dans l’Encyclopédie) servent à

merveille pour exprimer cette tendance:

Ainsi la Métaphysique de l’infini et des quantités infiniment petites plus

grandes ou plus petites les unes que les autres est totalement inutile au calcul

différentiel.

Par contre,

La théorie des limites est la base de la vraie métaphysique du calcul diffé-

rentiel.

Entre deux métaphysiques, donc, l’enjeu. Une métaphysique des infinité-

simaux qui agonise, face à une métaphysique du rapport intrinsèque et de la

relativité qui s’impose. La révolution e – d serait certes la culmination de cette

tendance (au point que Mario Bunge a pu s’y référer moyennant l’expression

«execution and burial of infinitesimals»). Mais déjà nous aurions dans le baron

de Cauchy un légitimateur quasi définitif de la tendance triomphante. Avec

lui, la technique «standard» moderne du traitement des problèmes analytiques

serait fondée et l’expression infinitésimale reléguée à simple «manière de parler».

En effet:

Après avoir revendiqué la rigueur de la méthode géométrique par opposi-

tion aux raisons excessivement génériques utilisées en algèbre; après avoir sou-

ligné que cette méthode-là doit être celle qu’il convient d’introduire dans les

problèmes du calcul; enfin, après une présentation de la notion de limite com-

me valeur à laquelle s’approchent indéfiniment les points successifs de stabili-

sation d’une variable, le Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique20 nous offre

la définition suivante de quantité infiniment petite:

Lorsque les valeurs numériques successives d’une même variable crois-

sent indéfiniment de manière à s’abaisser au-dessous de tout nombre donné,

cette variable devient ce qu’on nomme un infiniment petit ou une quantité infi-

niment petite. Une variable de cette espèce a zéro pour limite.

Ce qu’on nomme... infiniment petit. Écho de la phrase de D’Alembert à

la suite du passage déjà cité de l’article Différentiel: «on ne se sert du terme

d’infiniment petit que pour abréger les expressions».

Il suffit de qualifier aussi d’infiniment petit la variable y d’une fonction

y = f(x) au cas où lim x→0 f(x) = 0 pour avoir déjà un infiniment petit (lui aussi



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purement nominal) fonctionnel. Le chemin est ouvert pour la considération

de la dérivée à partir de la relation variable entre 1’«infiniment petit» de la

variable indépendante, en prenant cette relation à la limite (et non point la

relation des deux limites!).

En fait il est facile de montrer, suivant la lecture de Robinson21, que l’at-

titude de Cauchy est beaucoup plus complexe et le rejet des infinitésimaux

beaucoup moins transparent. Cauchy – pour des raisons bien fondées – se tient

dans une position aporétique qu’en quelque sorte la non-standard analysis viendra

légitimer.

Pour illustrer cette position en apparence éclectique, Robinson citera la

définition par Cauchy de la dérivée:

Lorsque la fonction y = f(x) reste continue entre deux limites données de

la variable x, et que l’on assigne à cette variable une valeur comprise entre les

deux limites dont il s’agit, un accroissement infiniment petit, attribué à la

variable, produit un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même.

Par conséquent si l’on pose alors x = i, les deux termes du rapport aux différences

seront des quantités infiniment petites. Mais tandis que ces deux termes s’ap-

procheront indéfiniment et simultanément de la limite zéro, le rapport lui-

même pourra converger vers une autre limite, soit positive, soit négative. Cet-

te limite, lorsqu’elle existe, a une valeur déterminée pour chaque valeur parti-

culière de x;...22

Le côté problématique de cette définition procède de l’expression «un

accroissement infiniment petit». Étant donné le passage cité antérieurement,

on peut certes n’y voir qu’une expression redondante par rapport à l’expres-

sion «ces deux termes s’approchent indéfiniment et simultanément de la limite

zéro». On regrettera cependant qu’à un moment central de sa construction

Cauchy n’ait pas préféré exclure l’expression équivoque. D’autant plus que

loin qu’il s’agisse d’une imprécision passagère, la fidélité de Cauchy à l’expres-

sion problématique est constante... Robinson a beau jeu d’évoquer textes de

1829 et 1844 ainsi que23 la présentation par Cauchy en 1823 de l’intégrale

définie:



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D’après ce qui a été dit dans la dernière leçon si l’on divise x-x0 en élé-

ments infiniment petits x1-x0, x2-x1,..., x – xn-1, la somme S = (x1-x0) f(x0) +

(x2-x1) f(x1) + ... + (x - xn-1) f(xn-1) convergera vers une limite représentée par

l’intégrale définie ∫ (x x0) fx dx

D’où cette spectaculaire ré-interprétation de l’oeuvre de Cauchy:

... In Cauchy’s mind a function did not approach its limit directly, but

only via expressions involving infinitesimals.

Ré-interprétation de Cauchy, re-lecture qui derrière les ambiguïtés du tex-

te cherche le substrat qui les rend légitimes, les faisant dépasser le caractère

d’expressions d’une débilité subjective.

Ou bien limite (dans le registre numérique orthodoxe) ou bien infiniment

petit (pas les deux à la fois). Ceci ne saurait échapper au baron de Cauchy, et

pourtant...

Quoique obscurément, dirait Robinson, Cauchy a raison de se référer à la

limite sans renoncer à l’infiniment petit; car dans la chose même il s’agit néces-

sairement des deux. Simplement il est nécessaire de soumettre l’ensemble à

une réordination: le cadre dans lequel limite exprime la vérité en jeu est corréla-

tif
de celui dans lequel l’infiniment petit régit. Contemplons en effet les condi-

tions que la non-standard analysis assigne à la dérivée: «f(x) is indifferentiable

at x if and only if the ratio [f(x0+1)-f(x0)]/i has the same standard part d, for

all infinitesimal i≠0, and d is then the derivative of f(x) in the ordinary sen-

se24»25.

La non-standard analysis ne prétend pas désautoriser les propositions des

manuels standard, mais contrairement, les rendre légitimes en montrant leur

corrélat, ombre ou fondement, où l’infinitésimal régit. La vérité unique de



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l’analyse aurait une double expression: continuiste, relationnelle, qualitative

où seulement la tendance et la limite régissent, d’un côté; ordre irréductible au

registre numérique hérité, infinitude et cependant fidélité stricte à la grandeur,

de l’autre.

Les «monades» quantitatives.

Nous avons vu que Leibniz n’accorde aux infinitésimaux que le statut

d’entités imaginaires26. Or, puisque insérés dans le calcul, les infinitésimaux se

doivent d’obéir aux lois et propriétés qui régissent le registre général de la

grandeur, alors que d’autre part Leibniz dit explicitement que de telles «quan-

tités» sont incomparables relativement aux quantités proprement dites, de telle

manière que si deux quantités a,, b, différaient par un infinitésimal, elles

seraient salva veritate interchangeables27.

Ce statut des infinitésimaux est forcément aporétique tant que nous nous

tenons au registre standard de la droite réelle. Et l’affirmation du caractère ima-

ginaire ne nous tire pas d’embarras, car c’est une chose que ne pas avoir de

statut ontologique objectif et c’en est une autre que de manquer de consistence

logique.

Et bien, l’analyse non-standard vient légitimer le fait que Leibniz se soit

installé dans l’aporie, tout en parvenant à la racheter en lui offrant un modèle

dans lequel deux qui diffèrent par une quantité infiniment petite sont effecti-

vement (dans le registre tout au moins qui intéressait Leibniz) entre eux équi-

parables, sans que pour autant cette petite différence doive être rejetée du

domaine propre de la quantité.

Pour cela faire, l’analyse non-standard soumet la droite réelle à la ré-

interprétation bien connue moyennant laquelle on y trouve:



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Un anneau M1 constitué par des nombres a tels que | a | < r pour tout

nombre standard positif r.

Un ensemble *N, dans lequel N est inclus, qui contient des nombres

naturels infiniment grands et constitue un modèle non-standard de l’arithméti-

que (modèle qui garantit le caractère archimédéen de *R).

Des nombres infiniment grands inverses des éléments de M1, c’est-à-dire,

de la forme a-1.

Des classes d’équivalence entourant chacun des nombres réels (standard ou

pas), constituées par une constellation de nombres a, b vérifiant a⋍b, c’est-à-

dire des nombres dont la différence est infinitésimale, constellation pour laquel-

le Robinson choisit le terme de monade. Ceci est bien sûr une métaphore puisque

cette monade est une entité strictement mathématique28. Il s’agit toutefois d’un

clin d’oeil à Leibniz qui constitue à notre avis un véritable hommage.

La relation d’équivalence vérifiée par les couples d’éléments de la monade

garantit, cette fois dans une charpente logique irréprochable, la thèse que Leib-

niz soutenait aporétiquement. Car, s’agissant de nombres finis, deux éléments de

la même monade possèdent dans le registre standard un seul et unique représen-

tant, et ceci implique que sous un certain aspect ils sont égaux29.

Ainsi par exemple, si a est un infinitésimal, alors, quel que soit un nom-

bre positif non infinitésimal r, il n’existe point de nombre naturel n standard

tel que n. a > r, et de ce point de vue précis a est équivalent à zéro. Par

contre, il existe un nombre naturel *n non standard, c’est-à-dire infini, tel que

*n. a > r, ce en quoi diffère tout à fait de zéro.

Quant à l’affirmation du fait que les quantités infinitésimales répondent

aux propriétés des quantités finies, ceci est garanti par un principe fondamen-

tal de la non-standard analysis, à savoir:

Si K est l’ensemble de propositions vérifiables dans le modèle que consti-

tue la droite réelle standard, alors cet ensemble de propositions est aussi véri-

fiable dans le modèle que constitue l’«enlargement» ou extension transgressive

*R de R ; les axiomes, règles et théorèmes qui sont expressifs de la cohérence

de R sont aussi expressifs de la cohérence de *R30.

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Ceci, certainement, moyennant une ré-interprétation des propositions qui

sont «meaningful and true for the system of real numbers». Voici un exem-

ple:

Soit la proposition valable en R: «pour tout nombre positif a il existe un

nombre n appartenant à N tel que a+a+...+a (n fois) > 1». Cette proposition

demeure-t-elle valable en *R? Nullement, car si a est infinitésimal alors quel

que soit n appartenant à N, nous avons en a+a+...+a (n fois) toujours un

infinitésimal donc un chiffre plus petit que 1. La proposition est cependant

légitime si l’on y introduit une modification: «pour tout nombre positif a il

existe un nombre n appartenant à *N tel que a+a+...+a (n fois) > 1 ».

Modification authentiquement restauratrice du caractère archimédéen, si

l’on considère que *N est l’ensemble concret des nombres naturels comme *R

est l’ensemble concret des nombres réels:

«From now on, we shall refer to all individuals of *R as real numbers,

reserving the name of standard real numbers to the individuals of R»31. D’où

(en réservant l’expression «ensemble des nombres naturels» pour *N): «If by

Archimedes’ axiom we mean... that for any a > 0 there exists a natural

number n (which may be infinited) and that n. a > 1 then Archimedes’ axiom

does hold in *R32».

Conclusion: ontologie et calcul

La transcendance ontologique de la non-standard analysis réside en ceci que,

pour la première fois depuis que les infinitésimaux hantent la science et la



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philosophie (dépuis en somme Archimède, Eudoxe et la méthode d’exhaus-

tion), leur essence numérique est posée dans un cadre théorique irréprochable.

Avec A. Robinson le registre de la quantité récupère un matériel dont le

statut ontologique devenait flou depuis que le baron de Cauchy faisait de «l’in-

finiment petit» une expression conventionnelle désignant une variable dont

les valeurs successives s’approchent indéfiniment vers zéro, sans pour autant

renoncer tout à fait à les traiter comme des nombres. Il est vrai que ce flou

dans la détermination du lieu ontologique des différentielles était bien préparé

par Leibniz qui d’un côté affirme leur caractère numerique, quoi qu’imaginai-

re, mais par ailleurs soutient que l’infini actuel ne saurait être assumé en mathé-

matiques, ne saurait donc être revendiqué comme nombre.

Les exceptions à cette attitude procèdent plutôt de la philosophie que des

mathématiques et elles vont toutes dans le sens de la considération de dy, dx

comme pôles d’un rapport plutôt qualitatif que quantitatif; dy, dx témoigne-

raient effectivement de l’infini mais ceci non pas au sens où ils désigneraient

une quantité infinie (en petitesse) mais plutôt dans le sens où il s’agirait là de

l’infinititation de la quantité elle-même, c’est-à-dire sa qualification, en consi-

dérant que c’est le propre de la qualité que l’émergence d’un lien où les pôles

rapportés n’ont aucune subsistance33.



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Bref: Si l’on s’en tient à la dérivée dans le cadre standard, alors dy, dx

expriment un lien dans lequel ceux qui sont mutuellement référés n’ont aucu-

ne substance en dehors du lien lui-même... Nous avons là la base de l’inter-

prétation qualitative du calcul différentiel que les philosophes ont reconnu

comme unique acceptable et que la mathématique du XIXe siècle a semblé

confirmer.

Cependant, Robinson trouve dans l’histoire et la pratique du Calculus des

raisons pour ne pas s’en tenir à une conception strictement qualitative du lien

différentiel, trouve des raisons pour affirmer derrière ce lien une dimension

d’infinitude. D’où suit que, pour fonder rationnellement aussi bien la discipli-

ne que la pluralité de phénomènes qu’elle détermine, il paraît nécessaire faire

violence au cadre hérité et offrir au discours sur la droite réelle un nouveau

modèle.

Dans un cas comme dans l’autre il s’agit de rendre compte de ce qui se

montre, trouver à ce dont on ne saurait se passer un terrain qui l’arrache à la

contingence, sozein ta phainomena ... tâche essentielle de l’ontologie.

Notes
1.
II convient à ce sujet de rappeler la précaution de Philalèthe dans le chapitre XVIII des

Nouveaux Essais en affirmant que les notions de fini et infini sont d’ordinaire considérées comme

des modes de la quantité. Cette prudence montre que cette catégorisation de fini et infini sous

la rubrique quantité n’est pas d’une évidence apodictique.
2.
Peter Geach qui renvoie à Suárez (De incarnatione, Disp. 26, 4, 5) soutient lors d’une

discussion avec A. Robinson que Leibniz assimile la distinction catégorématique/syncatégorématique à

la distinction actuel/potentiel. (Voir A. Robinson, The Metaphysics of Calculus, in J. Lakatos, Problems

of Philosophy of Mathematics
, North Holland, Amsterdam 1967, pp. 28-46).
3.
NE, II, xviii, 1.
4.
On se contentera seulement de transcrire ce dernier dont la citation est empruntée à

A. Robinson (Non-standard analysis, p. 263): «Pour ce qui est du calcul des infinitésimaux, je ne

suis pas tout à fait content des expressions de Monsieur Herman dans sa réponse à Monsieur

Nieuwentijt ni de nos autres amis. E. M. Nandé a raison d’y faire des oppositions. Quand ils se

disputèrent en France avec l’abbé Gallois, le Père Gouge et d’autres, je leur témoignai, que je ne

croyais point qu’il y eût des grandeurs véritablement infinies ni véritablement infinitésimales,

que ce n’était que des fictions mais des fictions utiles pour abréger et pour parler universelle-

ment ... Mais comme M. le Marquis de l’Hospital croyait que je trahissais la cause ils me priè-

rent de n’en rien dire, outre ce que j’en avais dit dans un endroit des actes de Leipsic, et il ne

me fut aisé de déférer à leur prière». Raison plutôt triste qui justifierait un découragement de

Leibniz pour ce qui est de son engagement personnel dans la recherche. Si elle était vraie cette

pression du marquis de l’Hospital montrerait jusqu’à quel point la «sévérité de la science peut

cacher l’ambition de maîtrise dans une secte».
5.
II vaudrait mieux dire du caractère archimédéen dans son immédiateté, car la droite réelle

qui surgit de la construction d’Abraham Robinson restaure après l’avoir dépassé l’archimédianis-

me.
6.
Erdmann, p. 436. Il convient peut-être de transcrire aussi la suite: «Utrasque enim per

modum loquendi compendiosum pro mentis fictionibus habeo, ad calculum aptis, qualis etiam

sunt radices imaginariae in Algebra». Analogue à √-1 notion tout au plus bonne à simplifier un

raisonnement, l’infini n’aurait qu’une entité boiteuse.
7.
Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, p. 180. Il convient de compléter cette lec-

ture par celle d’un texte datant de 1878: Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, in G. Cantor,

Gesammelte Abhandlungen, Springer Verlag, Berlin 1932.
8.
«... bei endlichen Mengen fällt die Mächtigkeit mit der Anzahl der Elemente zusam-

men...» (p. 167); «... der ganze Zahlbegriff, der im Endlichen nur den Hintergrund der

Anzahl hat, wenn wir aufsteigen zum Unendlichen, sich gewissermassen spaltet in zwei Begriffe,

in denjenigen der Mächtigkeit ... und in den der Anzahl, welche notwendig an eine gesetzmäs-

sige Ordnung der Menge gebunden ist...» (p. 180).
9.
«Und steige ich wieder herab vom Unendlichen zum Endlichen, so sehe ich ebenso

klar und schön, wie die beiden Begriffe wieder Eins werden und zusammenfliessen zum Begriffe

der endlichen ganzen Zahl» (p. 181).
10.

«Beachte man noch, dass ich in einem Produkt βα unter β den Multiplikator, unter α

den Multiplikandus verstehe. Ohne weiteres ergeben sich alsdann für ω folgende zwei Formen:

ω = ω. 2 und ω = 1 + ω. 2. Ihnen gemäss kann also ω sowohl als eine gerade wie als eine ungera-

de Zahl aufgefasst werden» (pp. 178-179). «Von einem andern Gesichtspunkt, wenn nämlich 2

als Multiplikator genommen wird, liesse sich aber auch sagen, dass ω weder eine gerade noch

eine ungerade Zahl ist, weil, wie man leicht beweisen kann, ω weder in der Form 2α, noch in

der Form 2α + 1 sich darstellen lässt». Il convient d’exposer les préalables de l’argument : quand

des transfinis se trouvent impliqués dans une multiplication, seule une commutativité partielle

est garantie. Soient:

2 = Nombre ordinal de l’ensemble {e f}

ω = Premier nombre ordinal (Ordinalzahl) transfini correspondant à l’ensemble {1 2 3...}.

Si ω est multiplicateur nous avons: ω. 2 = Nombre ordinal de l’ensemble {e1 f1, e2 f2, e3 f3 ...}

lequel est ähnlich par rapport à {1 2 3 ...}. Si par contre 2 est le multiplicateur nous avons alors:

2. ω = Nombre ordinal de l’ensemble {1e 2e 3e ... 1f 2f 3f ...} = {e1 e2 e3 ... f1 f2 f3}, Menge non

ähnliche par rapport à {1 2 3 ...} (c’est-à-dire non susceptible d’une bijection qui fait coïncider

l’ordre de succession de deux elements quelconque de l’ensemble de départ avec celui de leurs

images). On a donc: ω. 2 = ω ‡ 2. ω (En d’autres textes Cantor écrit le multiplicateur à droite,

ce qui donne: 2. ω = ω ‡ ω. 2). C’est-à-dire:

ω (multiplicateur) fois 2 (multipliant) = ω

2 (multiplicateur) fois ω (multipliant) ‡ ω

On ajoutera à ceci (formule dont nous ne reprendons pas la preuve):

1 + ω = ω ‡ ω + 1

Enonçons à present les conditions bien connues pour qu’un nombre x soit pair ou

impair:

  • – x est pair s’il existe α tel que α (multiplicateur) fois 2 = x

– x est impair s’il existe α tel que 1 plus α fois 2 = x

ou, ce qui dans l’ordre numérique fini est équivalent,

    • – x est pair s’il existe α tel que 2 (multiplicateur) fois α = x

x est impair s’il existe α tel que 1 plus 2 (multiplicateur) fois α = x.

Les conditions de la parité et de l’imparité énoncées en A) et B) sont, comme nous le disions,

dans l’ordre numérique fini équivalentes et ceci en vertu de la rigoureuse commutativité de la

multiplication. Tel n’est pas le cas dès que des transfinis sont en jeu. En effet,

  • 1. Il existe un nombre α tel que α (multiplicateur) fois 2 est égal à ω, à savoir α = ω

    lui-même, donc ω est pair.

2. Il existe un nombre α tel que 1 plus α (multiplicateur) fois 2 est égal à ω, à savoir α =

ω lui-même, donc ω est impair.

  • 1. Il n’existe point de nombre α tel que 2 (multiplicateur) fois α soit égal à ω, et donc ω

    n’est pas pair.

    Preuve:

– Si α est fini: 2 α est fini et donc diffère de ω.

– Si α est infini soit α = ω, soit a > ω (car ω est le premier nombre ordinal transfini)

et dans les deux cas 2 α > ω.

2. Il n’existe point de nombre α tel que 1 plus deux (multiplicateur) fois α soit égal à ω

et donc ω n’est pas impair.

Preuve:

– Si α est fini: 1 + 2α est fini et donc diffère du ω.

– Si α est infini alors ou bien α = ω et 1 + 2α = 2ω > ω, ou bien α > ω et 1 + 2α >

2 ω > ω.

11.
L’un qui est, par exemple, «diffère des autres et de lui-même alors même qu’il est

identique aux autres et à soi-même» (Parménide 147 b).
12.
Et parfois l’embarras devant le surgissement de la question même: «Le calcul nous

mène quelquefois à l’infini sans y penser» (lettre à Foucher du 2 juin 1692).
13.
«Je suis tellement pour l’infini actuel qu’au lieu d’admettre que la nature l’abhorre, com-

me on le dit vulgairement, je tiens qu’elle l’affecte partout pour mieux marquer les perfections de

son Auteur. Ainsi je crois qu’il n’y a aucune partie de la matière qui ne soit, je ne dis pas divisible

mais actuellement divisée ; et par conséquent la moindre partielle doit être considérée comme un

monde plein d’une infinité de créatures différentes». Si par la référence à l’infinité de créatures

Cantor peut tirer le texte vers la cause de l’infiniment grand, l’affirmation de la divisibilité en acte

noue indiscutablement un lien avec la problématique de l’infiniment petit. Certes on peut inter-

préter l’indivisibilité dans un sens strictement qualitatif, mais n’y a-t-il quelque difficulté à soute-

nir que l’indivisibilité qualitative manque de traduction au niveau quantitatif? Le fait que Leibniz

ne se soit pas engagé dans la voie de la détermination quantitative à l’intérieur de ces indivisibles,

n’est-il pas à mettre au compte de l’absence d’un modèle lui permettant de pénétrer «sans méta-

phore ni mythe » dans l’infiniment petit ? N’aurait – il pas ce modèle – s’il avait été acquis-modifié

la conception même que Leibniz se faisait de la monade?
14.
Le texte dit exactement: «Es wird nun vielleicht hieran die Frage geknüpft werden, ob

man, da doch auf diese Weise eine bestimmte Erweiterung des reellen Zahlengebietes in das

Unendlichgrosse erreicht ist, nicht auch mit gleichem Erfolge bestimmte unendlich kleine

Zahlen oder, was auf dasselbe hinauslaufen möchte, endliche Zahlen definieren könnte, welche

mit den rationalen und irrationalen Zahlen (die als Grenzwerte von Reihen rationaler Zahlen

auftreten) nicht zusammenfallen, sondern sich an mutmasslichen Zwischenstellen inmitten der

reellen Zahlen ebenso einfügen möchten, wie die irrationalen Zahlen in die Kette der rationa-

len oder wie die transzendenten Zahlen in das Gefüge der algebraischen Zahlen sich einschie-

ben».
15.
Uneigentlich-unendliche a (p. 165) la signification (Bedeutung): «einer veränderlichen, ent-

weder über alle Grenzen hinaus wachsenden oder bis zu beliebiger Kleinheit abnehmenden,

aber stets endlich bleibende Grösse aufzutreten...» Ou à p. 166: «Stärken und Formen des

Uneigentlich-unendlichen, häufig auf z.B. bei unendlich klein oder unendlich gross werdenden

Funktionen einer Veränderlichen x, falls sie bestimmte endliche Ordnungszahlen des Unen-

dlich-werdens haben».
16.
«Die unendlichkleinen Grössen sind meines Wissens bisher überhaupt nur in der Form

des Uneigentlich-unendlichen zum Nutzen ausgebildet und sind als solches aller jener Verschie-

denheiten, Modifikationen und Beziehungen fähig, welche in der Infinitesimal-analysis sowohl

wie in der Funktionentheorie gebraucht werden und zum Ausdruck kommen, um dort die rei-

che Fülle der analytischen Wahrheiten zu begründen», p. 172.
17.
Ibid.: «Dagegen müssten alle Versuche, dieses Unendlichkleine gewaltsam zu einem

eigentlichem Unendlichkleinen zu machen, als zwecklos endlich aufgegeben werden». Radicali-

sation dans la critique par rapport à quelques lignes arrière où l’on parle seulement des tentati-

ves jusqu’alors réalisées (die bisherigen Versuche) lesquelles seraient établies sur des bases faibles (auf

einer schwankenden Basis ausgeführt worden sind
).
18.
Ibid.: «Wenn anders überhaupt eigentlich-unendlichkleine Grössen existieren, d. h.

definierbar sind, so stehen sie sicherlich in keinem unmittelbaren Zusammenhange mit den

gewöhnlichen, unendlich klein werdenden Grössen».
19.
Notamment à l’analyse critique d’un «point de vue sur l’essence et la signification des

grandeurs numériques».
20.
1821, première partie, section 2, vol. 3.
21.
A. Robinson, Non-standard Analysis, North-Holland Publishing Company, Amsterdam

1966. Nous ferons référence moyennant les sigles NSA. Nous citerons aussi The Metaphysics of

Calculus
(in Lakatos, Problems in the Philosophy of Mathematics, North-Holland Publ. Co., Amsterdam

1967 pp. 28-46). Dans ce travail Robinson reprend, avec les particularités propres d’une exposi-

tion orale, les idées développées dans le chapitre que sous le titre «Concerning the History of

the Calculus», présente en appendice NSA. L’élection du titre est cependant expressive de la

volonté de Robinson d’inscrire sa réflexion dans l’effort archaïque pour établir un lien entre le

travail mathématique et le travail philosophique.
22.
NSA, p. 273; The Metaphysics, cit. p. 31.
23.
NSA, p. 275.
24.
In the ordinary sense, c’est-à-dire dans le sens où les pôles mis en rapport dans la formule

dy/dx ne sont pas des nombres, ne sauraient être simplifiés, ne sont même pas, si on les consi-

dère séparément l’un de l’autre, ni fonctions ni limites des fonctions ; sens dans lequel, en défini-

tive, les pôles rapportés résistent à une catégorisation sous l’ordre strict de la quantité. Certains

de ces aspects sont aujourd’hui présentés comme «évidents» par des mathématiciens:

«Needless to say, the separate parts of the expression [d f(x)]/dx are not supposed to have

any sort of independent existence. The d’s are not numbers, they cannot be canceled, and the

entire expression ist not the quotient of two other numbers d f(x) and dx» (M. Spivak, Calculus,

W. Benjamin, New York, p. 141).
25.
The Metaphysics, cit., p. 31.
26.
Robinson souligne que ceci serait contraire à l’opinion du marquis de l’Hôpital : «In

order to appreciate the significance of these lines [Robinson fait allusion aux axiomes établis par

de l’Hôpital] we have to remember that, when they were written, mathematical axioms still

were regarded, in the tradition of Euclid and Archimedes, as empirical facts from which other

empirical facts could be obtained by deductive procedures; while the definitions were intended

to endow the terms used in the theory with an empirical meaning. Thus (contrary to what a

scheme of this kind would signify in our time) de l’Hôpital’s formulation implies a belief in the

reality of the infinitely small quantities with it concerned» (The Metaphysics, cit. p. 32).
27.
Robinson cite à ce sujet une lettre à de l’Hôpital de 1695: «Et je compte pour égaler

les quantités dont la différence leur est incomparable. J’appelle grandeurs incomparables dont

l’une multipliée par quelque nombre fini que ce soit ne saurait excéder l’autre, de la même

manière qu’Euclide l’a pris dans sa cinquième définition du cinquième livre».
28.
«... given any real number in *R we call the set of real numbers which are infinitely

close to a, the monad of a, to be denoted by μ (a)» (NSA, p. 57).
29.
«... instead of claiming that two quantities which differ only by an infinitesimal

amount, e.g. x and x + dx, are actually equal, we find only that they are equivalent in a well

defined sense, x + dx ⋍ x and can thus be substitued for one another in some relations but not in others».

(The Metaphysics, cit., p. 34. C’est nous qui soulignons).
30.
«Let *R be a higher order non standard model of analysis. Thus *R is a mathematical

structure which possesses the following properties:

1. Every mathematical notion which is meaningful for the system of real numbers is mea-

ningful also for *R.



2. Every mathematical statement which is meaningful and true for the system of real num-

bers is meaningful and true also for *R: provided that we interpret any reference to entities of

any given type, e.g. sets, or relations, or functions, in *R not in terms of the totality of entities of

that type, but in terms of a certain subset, called the set of internal entities of that type. For

exemple, if the statements contains a phrase ‘for all sets of numbers’ we interpreted this as ‘for

all internal sets of numbers’. Similarly the phrases ‘there exists a set of numbers’, ‘there exists a

function’, as ‘there exists an internal set’, ‘there exists an internal function’. However all indivi-

duals of *R are internal: the phrase ‘for all numbers’ is interpreted in *R as ‘for all individuals

of *R’.

3. The system of internal entities in *R has the following property. If S is an internal set of

relations, then all elements of S are internal...

4. *R properly contains the system of real numbers R; there is an individual in *R which,

according to the relation of order defined in R and *R, is greater than all numbers of R (NSA,

p. 49).

31.
NSA, p. 55. Il faut noter que la terminologie a changé chez d’autres auteurs qui parlent

eux de nombres hyperréels et réels.
32.
The Metaphysics, cit., p. 33.
33.
Nous faisons là allusions aux positions de Hegel dans la Science de la Logique qui accorde

au calcul différentiel trois longues appendices dans le chapitre servant de transition entre la

catégorie de quantité et la catégorie de mesure (Mass) qui marque le retour de la quantité à son

origine qualitative. Hegel écrit avant la parution du Cours d’Analyse de Cauchy de 1821 mais

toute sa théorie tient sur la base du rejet de l’infiniment petit en acte. Il faut dire – contraire-

ment à certains préjugés – que Hegel connaît parfaitement les mathématiciens qu’il invoque et

tout en essayant de relever leurs contradictions (en les plaçant dans l’espace conceptuel dont

elles témoignent) se sert de leur effort à la manière d’un exploiteur philosophique (selon l’ex-

pression d’Alain Badiou). Le calcul différentiel est pour Hegel le principal témoin scientifique

de sa thèse spéculative affirmant l’unité de la quantité et de la qualité. Et le succès de cette

discipline dans les sciences particulières ne ferait qu’exprimer ce fait que la mesure serait le seul

topos ontologiquement concret, qualité et quantité n’étant que des déterminations partielles dont

la considération abstraite nous éloigne de la vérité. On prétend que Hegel afficherait un mépris

pour les mathématiques. Ceci serait contredit par les textes où il affirme que, par opposition au

concept métaphysique de l’infini, «la détermination de l’infini mathématique correspond au

concept du véritable infini (dem Begriffe des wahrhaft Unendlichen entspricht)». Mais il s’agit toutefois

de l’infini atteint par l'Analyse supérieure et dans l’horizon de Hegel celle-ci n’est pas une discipli-

ne strictement mathématique. Confronter ces théories à celles de Robinson, par rapport au cal-

cul différentiel serait mettre à l’épreuve sur un terrain concret les puissances respectives de la

logique de modèles et de la dénommée logique dialectique. De par la transcendance ontologique de

l’enjeu cette confrontation constituerait une véritable gigantomachia peri tes ousias. Mais quel serait

l’enjeu de cette confrontation? Dans notre hypothèse il ne s’agit pas tant de souligner la diver-

gence des deux discours comme de leur complémentarité ontologique. Car l’opération moyen-

nant laquelle Robinson légitime le travail aussi bien historique qu’actuel des mathématiciens

dénommés standard constitue de coup une opération légitimatrice de la construction hégélienne.

Car Hegel ne contredit point le mouvement général de la mathématique. Ses conclusions vont

au contraire dans le sens du Cours d’Analytique de l’École Polytechnique de Cauchy et ceci paralèlle-

ment mais avec beaucoup plus de radicalité (c.-à-d. sans les ambiguïtés que l’on a vues). Il y a si

peu de contradiction entre les mathématiciens et Hegel que celui-ci a pu être qualifié d’exploi-

teur ontologique du travail de ceux-là.


Victor Gomez Pin . Date:

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